Examining the learning process of simple mathematical structures

Abstract

Keywords: Mathematical structure; learning; mathematics education.

Giriş

Öğrenciler problem çözmede ve öğrenmede matematiksel yapıları kullanırlar (Schwarz vd., 2004). Matematiksel yapılar belirli kurallar altında bir araya gelmiş ve bir bütün oluşturmuş matematiksel ilişkiye sahip elemanlardır (Çelen vd., 2023). Bu yapılar basit ve ileri matematiksel yapılar olarak iki ayrılabilir. İleri matematiksel yapılar, kümeler, vektör uzayları, grup, halka ve cisim gibi yapılardır. Yani bir açıdan üniversite düzeyinde işlenen yapılar hesaba katılır. Basit matematiksel yapılar ise ortaokul ve lise düzeyinde öğretilen birçok yapıyı da içerir. Örneğin bu durumda, üçgen, Pisagor teoremi, nokta bile bir matematiksel yapı olabilir. Bu yapıların nasıl öğrenildiği söz konusu olduğunda ise, öncelikle öğrencilerin yapıların farkına varması ve ayırt etmesi gereklidir. Farkındalık ve ayırt etme becerileri kazanılması sonrasında, matematiksel ilişkilerin kurulması ve bu ilişkilerin açıklanması sayesinde matematiksel yapıları öğrenme gerçekleşir. Gronow (2015)’a göre ilişkilendirilmiş, fark ettirilmiş ve problem çözmede kullanmaya sevk edilen matematiksel yapılar öğrenmede önemlidir. İlişkilendirmede doğruluk en önemli noktadır ve bu yapı farkındalığına tekabül eder. Öğretmen özellikle matematiksel yapıyı bağlantılarla, örüntülerle, benzerlikle, farklarla ve genelleme stratejileriyle birlikte vermelidir. Matematiksel yapı bilgisi ile öğrencilerde güven eksikliği de azaltılabilir. Literatürde birçok farklı çalışmada matematiksel yapı tanımları incelenmiştir, örneğin Gronow (2015) matematiksel yapıları oluşturan parçaları (CRIG) açıklar: bağlantılar (connections), örüntüleri tanıma (recognising patterns),

benzerlik ve farklılıkları belirleme (identifying similarities and differences), genelleme (generalising) olarak tanımlanır. Bunların yapısal öğrenmede önemli noktalar olduğu önemle vurgulanır. Süreç anlamalarında bir süre sonra çok ezbere dayandırıldığına da dikkat çeken Gronow (2015) kavramlar ve yollar kadar, ilişkilerin de verilmesi gerekliliği üzerinde durur. Mason vd. (2009), matematiksel yapı için verdiği tanımında, ilişkilerdeki genel elemanların veya bu elemanların alt kümelerindeki elemanların ilişkileriyle ve özellikleriyle bilinmesi ifadesini kullanır. Mason vd. (2009)’e göre, matematiksel yapı bilinmesi ve zihin yapı taşlarının oluşumu birbiriyle direk alakalıdır ve öğretmenin matematiksel yapıyı anlaması Pedagojik İçerik Bilgisinin önemli bir parçasıdır. Matematiksel yapıyı inceleyen başka bir çalışmada ise Bredow (2019) argümantasyon oluşturmada birincil noktanın yapının çözülmesi gerekliliği olduğunu vurgular. Bu ifadeleri Mason vd. (2009) de çalışmasında desteklemiştir. Bir diğer deyişle, matematiksel yapı yansıtılabilmeli, incelenmeli ve gözlemlenmelidir ve bu süreçlerin sonucunda argümantasyon oluşabilsin. Watson ve Mason (2006) varyasyon teorisine atıfta bulunarak öğrenmenin sadece varyasyonla oluşabileceğini vurgularlar. Örüntü kullanıldığında varyasyonun rasgele olmadığını göstermesi bakımından önemlidir. Öğrenme, süreçte belli değişkenleri değiştirerek, bazılarını da sabit tutarak sonuçların nasıl değiştiğini görmek olarak belirtmişlerdir. Sorun varyasyonun ne kadar ölçüde olması gerektiğine karar verebilmektir. Bu noktada yapıdaki elemanlar ve onların arasındaki ilişkiler belli düzeyde çözümlenmişse bu karar doğru şekilde verilebilir. Branca (1974) ise daha bilinen tanımı kullanarak

Yıldız Journal of Educational Research, Vol. 8, Issue. 2, pp. 110−121, December, 2023

basit matematiksel yapıları dışarda bırakır: gruplar, halkalar, alanlar ve vektör uzayları. Günümüzde araştırmaların bir bölümü bu tanım üzerinden gitmekte ve ileri düzeyde matematiksel yapıları araştırmaktadırlar. Ancak Wells (2017) çalışmasında matematiksel yapıların Piaget bakış açılarını da ayrıntılı olarak incelenmiştir. Piaget yığın, seri ve sınıflandırma kavramlarına dikkat çeker ve yapısal gelişimin bunları içermesi gerektiğini vurgular. Piaget’e göre, bütün matematiksel yapılar; daha basit matematiksel yapıların ilişkilendirilmiş halidir. Ve bu tanımı basit matematiksel yapılara yönelik odağı değiştirir (Wells, 2017). İleri matematiksel yapılar kadar, basit matematiksel yapıların da araştırılması önemli hale gelir. Yapılan çalışmalar incelendiğinde, farklı yaş gruplarında çalışmalara rastlanır. Gronow (2015) beş öğretmen ile yürüttüğü araştırmasında ileri matematiksel yapıları tercih etmiştir. Öğrencileri uygun zorlayıcı problemler yönelterek, bu problemlerin çözümünde onlara yardım etmenin önemi üzerinde durmuştur. Rehberlik niteliğindeki yardım ise öğrencilerde bağımsız düşünmeyi de geliştirebilir. Benzer şekilde Gronow vd., (2017) orta öğretim matematik öğretmenleriyle çalışmışlardır. Öğretmenlerin birbiri ile çelişen matematiksel yapı tanımlarına sahip oldukları belirlenmiştir. Bu da dikkatlerini yeterince yapısal düşünceye vermedikleri olarak yorumlanabilir. Halbuki matematiksel yapıların farkında olan öğrencilerde içsel bir ödül mekanizması vardır ve öğretmenin farkındalığı öğrencinin ilgisini de arttırabilir. Bir yapının elemanlarında parça bütün ilişkileri, detaylar, özellikler, akıl yürütme önem kazanabilir. Farklı bir grup olarak okul öncesi öğrencilerinin nasıl öğrendiğini araştırmış olan Zoltan Dienes (Branca, 1974) matematiğin düzenli bir yapı ile kristalleşmiş yapı ve ilişkiler yumağı olduğunu ve bunun için deneyime ihtiyaç duyduğunu belirtir. Bu bağlamda en önemli nokta yapı ve örüntüdür. Dienes Piaget’e benzer bakış açısıyla şu ifadeyi kullanır: Öğrenme problemi aslında matematik probleminin yapısı ile öğrenenin zihinsel yapısı arasında birebir eşleme olduğu zaman oluşur. Matematiksel yapıları ve yapılar arasındaki ilişkileri inceleyen çalışmalar literatürde mevcuttur. Bunlardan biri olan Alston ve Maher (2016) benzer matematiksel yapılar ve izomorfizm üzerinde durmuşlardır. İzomorfizmle iki yapının birisinden yola çıkarak diğeri hakkında daha detaylı bilgi edinilebilir. Bu bağlamda üç hipotez kurmuşlardır: 1. Zihin yapı taşları matematiksel yapılarla birebir ilişkilidir. 2. Öğrenme, en iyi matematiksel yapıların odak olduğu öğrenme ortamlarında görülür. 3. Gruplar matematiksel yapıların öğrenilmesini kolaylaştırır. Kavurmacıoğlu ve Arıdağ (2013)’ın çalışmalarında dikkat çektikleri kavram ise paraboldür. Parabol başlı başına matematiksel bir yapıdır ama mimaride zincir eğrisi denilen başka bir matematiksel yapının yapıtaşını oluşturabilir. Yoon (2015) da benzer şekilde araştırmasında ilişkilendirme ve öğrencilerin matematiksel yapılardan hangilerini oluşturabildikleri üzerinde durmuştur. Mulligan ve Mitchelmore (2009) ise matematiksel yapı farkındalığının matematiksel başarı ile

ilişkisini incelenmişlerdir. Özellikle küçük öğrencilerde, daha başarılı öğrencilerin daha soyut notasyonlara ulaşıp, daha gelişmiş matematiksel yapı oluşturabildiklerine dikkat çekerler. Ancak matematiksel yapılar daha çok ileri matematik ile ilişkilendirildiğinden ileri matematik konuları ve ileriki yaşlardaki öğrenenler seçilmektedir, bu sebeple küçük yaşlardaki gruplarla yapılan çalışmalar sınırlı olduğu belirtilmiştir. Mulligan ve Mitchelmore (2009) küçük yaş grubu öğrenciler için PASA adlı bir ölçek geliştirmişlerdir. Bu çalışmada amaç, matematiksel örüntü ve yapının farkındalığını ölçmektir. Bu ölçekte öğrencinin yapısal sınıflandırması kategorileri şu şekildedir: yapı öncesi, açığa çıkan yapı, kısmi yapı, yapısal gelişim ve ileri yapısal gelişim. Matematiksel yapı içeriği olarak sayısal ve uzamsal yapı kullanılmıştır. Gronow (2016) da süreçlerin ve kavramların öğrenci öğrenmesiyle ilişkilendirilmesinin bir açıdan matematiksel yapıların nasıl öğrenildiği üzerine odaklanmak olduğunu belirtir. Ona göre yapısal düşünme farkındalığının sadece öğrencide değil, öğretmende de belli oranlarda olması gerekliliğine dikkat çeker. Ezberden kaçınmak için de matematiksel yapı farkındalığı vurgulanmalıdır. Anlama matematiksel yapılarla daha kolaylaşabilir. Matematiksel yapının parçaları olarak; fikirlerin bağlantılığı, seçebilme becerisi, etkili ve değerli stratejiler, öğrencileri düşünsel açıdan zorlama, öğrencileri ne düşündüklerini, nasıl çözdüklerini açıklamaya davet etme sayılabilir. Novotna’ya göre (2008) de, öğretmenler derslerine hazırlanırken öğrenciler kadar yeni yapılarla karşılaşmalıdır. Öğrenci ve öğretmenlerin matematiksel yapıları öğrenme süreçlerinin de önemini ortaya koyan çalışmalar görülebilir. Matematiksel yapının nasıl öğrenildiği ile ilgili Çeziktürk (2022), derlemesinde matematiksel yapı öğrenmedeki olası sıralama üzerinde durur. Bu sıralama ‘’analiz, linkler, örnekler, sınırlar, istenmeyen duraksama, zorluklar, yeniden başlama, diğer olanaklar ve sonuç’’ şeklindedir. Bu aşamaları analitik geometri, İslami geometri örüntüleri ve origami modelleri örneklerinden yola çıkarak ve basit matematiksel yapı öğrenmelerine bakarak ve analiz ederek oluşturmuştur. Literatürde incelenen çalışmalarda öne çıkan özelliklerden biri, matematiksel yapılarda kurulan ilişkilerin önemidir. Anaokulu seviyesinden itibaren öğrenciler, matematiksel durumlar ile karşı karşıyadır. Eğitim süreçlerinde karşılarına sürekli yeni matematiksel yapılar çıkacaktır. Bu bağlamda bu yapıların öğrenilmesi ve matematiksel ilişkilendirmeler önem arz etmektedir. Ancak bahsedilen matematiksel yapılar kavramı, ilköğretim ve orta öğretim düzeyinde yüksek biliş gücü istediğinden, çabuk kaygı oluşturup matematikten vazgeçme ile sonuçlanabilir. Matematik öğretmen adayları göz önünde bulundurulduğunda gelecek nesillere matematiksel yapıların öğretiminde rol oynayacakları düşünülebilir. Ayrıca Wells (2017)’e göre bir matematikçi ve matematik eğitimcinin ‘’matematik yapma’’ tanımları farklıdır. Öğrencilerden bütün yaptıklarınızı gösterin sorusuna aldığımız cevap matematik eğitimcileri genelde tatmin etmez, çoğunlukla cevapların her aşamayı kaydetmemiş olduğunu fark ederiz. Bu da

Yıldız Journal of Educational Research, Vol. 8, Issue. 2, pp. 110−121, December, 2023

öğrencinin matematiksel yapının tamamının veya bütün resminin farkında olmaması ile açıklanabilir. Bu sebeple öğretmen adaylarının matematiksel yapılar üzerine bilgi ve deneyimlerini incelemek önem arz etmektedir. Zor yapılar kadar basit matematiksel yapıların da öğretmen adayları tarafından nasıl öğrenildiği kontrol edilmelidir. En basit matematiksel yapı olarak varsayabileceğimiz sayı örüntüleri literatürde yoğun olarak çalışılmıştır. Bu sebeple farklı olarak bu çalışmada Vektör Uzayları Analitik Geometri ve Dönüşümler dersi konu içeriğine girdiğinden bu kavram altındaki örnek yapılar ve ilintili yapılar çözümlenmeye çalışılmıştır. Matematiksel yapıların bütünlük halinde ve temel elemanlarıyla ilişkileriyle birlikte incelenmesi daha önceden çözülemeyen problemlerin çözülebilmesine olanak sağlar. Orta öğretimdeki matematiksel düşüncenin ediniminin desteklenmesi bu sayede mümkün olabilir. Bu çalışmada basit matematiksel yapılara örnekler bulunarak (analitik geometriden, dönüşümlerden, geometriden, 3 boyutlu cisimlerden, seçkin formüllerden) bu yapıların öğretmen adayları tarafından nasıl öğrenildiğinin incelenmesi amaçlanmaktadır. Bu bağlamda araştırma problemleri şu şekildedir:

1. Matematik öğretmen adaylarının basit matematiksel

yapı bütünlüğü ve elemanları hakkındaki farkındalığı nasıldır? 2. Basit matematiksel yapıları oluşturan matematiksel ilişkiler matematik öğretmen adaylarına göre nelerdir? 3. Matematik öğretmen adaylarının bu yapıları öğrenmeleri, öğretmeleri ve transferi konusundaki algıları ne düzeydedir?

öğretmen adayı tarafından doldurulan bu anket onların matematiksel yapılar hakkında düşüncelerini ve deneyimlerini araştırmayı amaçlamaktadır. Toplam beş sorudan oluşan anketin dördü açık uçlu sorudur. · Ankette bulunan ilk soruda, öğretmen adaylarına bazı matematiksel yapılar yöneltilmiş ve bu yapılarını tanıyıp tanımadıkları sorulmuştur (Şekil1). Bu yapılar seçilirken, aynı üniversitenin matematik öğretmenliği doktora programı öğrencilerinin görüşlerine başvurulmuştur ve görüşleri doğrultusunda aşağıdaki yapılar belirlenmiştir. Seçilen yapılar öğretmen adaylarının eğitim hayatlarında sık karşılaştıkları ve karşılaşmadıkları matematiksel yapılar içeren örnekler barındırmaktadır. · İkinci soruda ise matematiksel yapılar ve bu yapıların içerdiği elemanlar hakkında eşleştirmeler yapmaları beklenmektedir. Öğretmen adaylarının matematiksel yapı eşleştirmelerini yaparken, bu yapılarda bulunan özellikleri göz önünde bulundurmaları beklenmiştir. Bu elemanlar ‘’çember, yüzey, kenar, köşe, alan, 3D, ayrıt, değişken, sabit, formül, oran, sekizgen, hipotenüs, köklü sayılar, ise, ve, veya, önerme, merkez, e sayısı, pi sayısı, 1,0, i, sinüzoidal hareket, parantez, fonksiyon, tam kare’’ şeklinde belirtilmiştir. · Üçüncü soru ise ikinci soruda yapılan eşleştirmeyi nasıl yaptıklarını ve hangi unsurları göz önünde bulunduklarını incelemektedir.

Yöntem

Bu çalışmada nitel araştırma desenlerinden durum çalışması (case study) deseni benimsenmiştir. Nitel araştırma kişilerin kanaatleri, tecrübeleri, algıları ve duyguları gibi sübjektif verilere yönelmektedir (Baltacı, 2019). Durum çalışması ise kişilerin günlük yaşamlarını etkileyen, onların iş ve özel yaşamlarıyla ilgili çabalarını inceleyen ve değişkenleri üzerinde araştırmacının kontrolünün olmadığı güncel durumları inceleyen bir desendir (Tutar, 2023). Çalışma Grubu Çalışma grubu seçilirken seçkisiz amaçlı örneklem yöntemi kullanılmıştır. İstanbul’da bir devlet üniversitesinde matematik öğretmenliği programına kayıtlı 41 lisans öğrencisi ile çalışılmıştır. Bu lisans öğrencileri, üniversite eğitiminin ikinci sınıf düzeyindeki ‘’Analitik Geometri’’ dersine kayıtlı öğrencilerdir. Bu bağlamda öğrencilerin yaşları 19-21 aralığındadır. Analitik Geometri dersi ara sınavı sonrası anket öğretmen adaylarıyla paylaşılmıştır. Veri Toplama Aracı Öğretmen adaylarının basit matematiksel yapıları öğrenme süreçlerinin incelenmesi için bir açık uçlu ve eşleştirme içeren sorulardan oluşan bir anket hazırlanmıştır. 41

Yıldız Journal of Educational Research, Vol. 8, Issue. 2, pp. 110−121, December, 2023

Dördüncü soru, öncelikle kendilerinin bu yapıları nasıl öğrendiğini sorgular ve sonrasında da meslek hayatında bu yapıları nasıl öğreteceklerini incelemeyi amaçlar. Bu soruda öğretmen adaylarının matematiksel yapıları nasıl öğrendiği ile; nasıl öğreteceği arasındaki farklılıkların ortaya konması amaçlanmıştır. Son olarak ise öğretmen adaylarından matematiksel yapılar konusundaki transfer algılarını paylaşmaları beklenmektedir. Matematiksel yapıları hangi benzer olanlara aktardıkları, nasıl ve hangi koşullarda aktarıldığına cevap aranmaktadır.

Verilerin Analizi Araştırmada içerik analiz tekniği kullanılmıştır. İçerik analizinde temel amaç, toplanan verileri açıklayabilecek kavramlara ve ilişkilere ulaşmaktır (Çepni, 2012). Verilerin önce kavramsallaştırılması, daha sonra ortaya çıkan kavramlara göre mantıklı bir biçimde düzenlenmesi ve buna göre veriyi açıklayan temaların saptanması yani yazılı, sözlü bir metni veya sembolü analiz edip rakamlara dönüştürüp bu rakamlar üzerinde yoruma gitmek, diğer bir deyişle rakamları tekrar

söze dönüştürmek olarak da tanımlanır (Yıldırım vd., 2011). Öğrencilerin görüşlerinin incelemek ve düşüncelerini anlamak için içerik analiz yöntemiyle analiz etmek mümkündür. Bu amaç doğrultusunda öğrencilere uygulanan yarı yapılandırılmış anket formunun kodlama sürecinde, alanında uzmanlar tarafından temalar belirlenmiştir. Temalar belirlenirken, uzmanlar tarafından öğretmen adaylarının verildiği cevaplar sıralanmış ve kategorilendirilmiştir. Araştırmada veri kodlanırken öğrenciler için adları ve soyadları kullanılmamıştır. Bunun yerine “Ö#” kodlama yapılmıştır ve öğrencilerin verdikleri cevaplar incelenmiştir.

Bulgular

1. ‘’Öğretmen Adaylarının Yapı Bütünlüğü ve Elemanları Hakkındaki Farkındalıkları Nasıldır?’’ Araştırma Sorusuna İlişkin Bulgular Yarı yapılandırılmış anket formu kullanılarak elde edilen Matematik öğretmen adaylarının verdikleri cevaplar aşağıda tablolar halinde verilmiştir.

Tablo 1. Farklı Matematiksel Yapıya Yönelik Öğretmen Adayları Düşünceleri Yapı İsimleri

-Dikdörtgen uzunlukları yardımı -Tam kare -Formül kanıtlama -Özdeşlikler modellenmiştir -Özdeşlikler alan ile ilişkilendirme -Dikdörtgen -Alanları eşit dikdörtgen -Alan tasarımı -Temel ve çoğu yerde karşımıza çıkıyor -Özdeşlik

-Birim küpler -Küpün ayrıntıları -Üç boyutlu düşünmek zor olduğu için somut bir şekilde görüyoruz -Boş şekiller -Küpler

-Delta -Formül verilerek ezbere sistem verilmiş -Cebirsel ifadelerin farklı gösterim şekilleri -İşlemi kısa tutmak düşünmek yerine sadece formül ezberletilmesi olarak görülüyor -Formül -Delta ile kök bulma

-Sekizgenden oluşan bir yapı -Matematiksel modelleme ile desteklenen bir yapı -İşlemleri azaltarak daha iyi algılamamızı sağlar -Üç boyutlu halı sembollerine benziyor -Poligonlar iç içe girmiş -Fraktal

Yıldız Journal of Educational Research, Vol. 8, Issue. 2, pp. 110−121, December, 2023

Tablo 1. Farklı Matematiksel Yapıya Yönelik Öğretmen Adayları Düşünceleri (devamı) Yapı İsimleri

-Çokgenler -Hipotenüs uzunluğu ile ilgili üçgenler -Matematiksel modeller -Bir kenarı bir birim olan üçgen -Kareköklü sayıların ispatı -Şekil içinde şekil -Altın oran -Matematiğin periyodik ilerlemesi -Temel ve çoğu yerde karşımıza çıkıyor -Örüntü ile orta dış üçgenler

-Mantık -Mantık önerme -Önerme -Mantık alanını kuralları verilerek ezber sistemi -Mantık muhakeme -Mantık ifadesi

-Üçboyutlu bir yapı -Modelleme yapılmış -Geometrinin her alanında kullanılmış -Geometri -Çok boyutlu bir cisim -Kuadratik yüzeyler -Karmaşık -Fraktal -Birleştirilmiş silindir

-Üç boyutlu bir yapı -Üç boyutlu dış desteklenmiş -Şekil -İntegral kullanılabilir -… yerlerde hazırlanmış -Matematik büyüsü -Karadelik -Sonsuz yol

-Euler sayısı -Formül verilerek dayatılmış -Matematiksel bir denklem -Matematiğin en şık denklemi -Matematiksel açıdan değerli denklem -Mükemmel denklem -Karmaşık sayı kökü

-GeoGebra, grafik çizme, periyodik grafik -Trigonometrik fonksiyon -Teknoloji yardımıyla matematikte bir ifade/ fonksiyon açıklamaya çalışmış -Fonksiyon -GeoGebra -Fizik dalga denklemine benziyor -Sinüs -1 +1 değer aralığında ve periyodik fonksiyon olarak görünüyor

Yıldız Journal of Educational Research, Vol. 8, Issue. 2, pp. 110−121, December, 2023

Tablo 1’deki yer alan öğretmen adaylarından elde edilen eşleştirmelerde genellikle bu yapıların çağrıştırdıkları özellikler belirtilmiş olup yapı isimlerine neredeyse hiç yer verilmediği dikkat çekmektedir. Bu tabloda sadece fikrini belirten öğretmen adaylarının düşünceleri (f=10) sıralanmış olup, şekiller hakkında düşüncesini belirtmeyen öğretmen adaylarının sayısı %75’tir. (f=31) Dolayısıyla, adayların bu matematiksel yapıları iyi bilmediği ve bu sebeple adlandıramamış olduğu tahmin edilmektedir. Beklenilenin aksine, 5. şekilde deniz kabuğu, 7. şekilde simit ve 8. şekilde spor bandı gibi bir nesneye benzerlik içeren cevapları hiçbir öğretmen adayı verememiştir. Bundan yola çıkarak, öğretmen adaylarının anketteki şekilleri günlük hayatlarıyla bağdaştıracak şekilde hatırlamadıkları söylenebilir. Veri toplama aracının 2.sorusu bulgularını elde ederken, yapıların elemanları ile eşleştirilmesi kapsamında elde edilen verilerde en fazla eşleştirme alan yapılara ağırlık verilmiştir. 10 farklı matematiksel yapıyı eşleştirirken her bir yapıya ait farklı elemanlar bulunmaktadır. Öğretmen adaylarına bu elemanlar karışık halde verilmiştir ve yapı ile elemanların eşleştirilmesi istenmiştir. Bu elemanlar: çember, yüzey, kenar, köşe, alan, 3D, ayrıt, değişken, sabit, formül, oran, sekizgen, hipotenüs, köklü sayılar, ise, ve, veya, önerme, merkez, e sayısı, pi sayısı, 1,0, i, sinüzoidal hareket, parantez, fonksiyon ve tam karedir. Tablo 2’de 1, 2, 6. ve 9. yapılar ile öğretmen adaylarının eşleştirme sıklıkları ve yüzde oranları sunulmuştur. Tabloda belirtilen dört yapı arasında öğretmen adaylarının birinci ve altıncı yapıya daha fazla eleman eşleştirdiği görülmektedir. İkinci sorunun cevaplarının getirdiği bulgular, öğretmen adaylarının ilk soruya göre yapının elemanlarının farkında olduklarıdır. Bu adayların aslında yapı elemanlarının farkında olduklarını fakat yapıyı tanımadıklarını gösterir. Öğretmen adaylarının sadece %29’u 2.soruyu cevaplamamıştır. 3. sorudan elde edilen bulgular, 2. sorudaki eşleştirmeyi yaparken kurulan ilişkileri sorgulamaktadır. Öğretmen adaylarının kurduklarını ilişkileri içeren cevaplar Tablo 3’te frekanslar ve yüzde oranları ile sunulmuştur. 2. ‘’Basit matematiksel yapıları oluşturan matematiksel ilişkiler matematik öğretmen adaylarına göre nelerdir?’’ Araştırma Sorusuna İlişkin Bulgular Öğretmen adaylarının cevapları arasında en çok görsel ilişkiler (%22), önbilgi (%20) ve formüller (%7) cevabı bulunmaktadır. Cevap vermeyen öğretmen adayları da Tablo 2. Öğretmen Adayları Matematiksel Yapı ve Yapı Elemanları Eşleştirme Sıklıkları

çoğunlukta olduğu görülür (%22). Bunun nedeni olarak öğretmen adaylarının matematiksel yapıları iyi tanıyamıyor olması söylenebilir. 3. ‘’Matematik öğretmen adaylarının bu yapıları öğrenmeleri, öğretmeleri ve transferi konusundaki algıları ne düzeydedir?’’ Araştırma Sorusuna İlişkin Bulgular Tablo 4. öğretmen adaylarının yapıları öğrendiği teknikleri sıralamaktadır. Öğrenmelerinde yardımcı olan teknikler arasında en fazla yazılanlar ezber (%15), okulda merak içinde öğrendikleri (%12), kitaplar (%5), sunuş (%5) ve görsel sunum (%5) olmuştur. Öğretmen adaylarının birçoğu ise yapıları nasıl öğrendiğine dair cevap vermemiştir (%46). Bunun nedeni olarak da öğretmen adaylarının matematiksel yapıları iyi tanıyamıyor olması veya nasıl öğrendikleri gibi durumları hatırlayamıyor olmaları olarak Tablo 3. Öğretmen Adaylarının Yapı ve Eleman Eşleştirmelerini Yaparken Kurduğu İlişkiler İlişki Adı

Tablo 4. Öğretmen Adaylarının Matematiksel Yapıları Öğrenme Teknikleri Öğrenme Tekniği

Yıldız Journal of Educational Research, Vol. 8, Issue. 2, pp. 110−121, December, 2023

Tablo 5. Öğretmen Adaylarının Matematiksel Yapıların Öğretiminde Kullanmayı Planladığı Öğretim Teknikleri Öğretme Teknikleri

Tablo 6. Öğretmen Adaylarının Öğrendikleri Matematiksel Yapıları Benzer Bir Matematiksel Yapıya Nasıl ve Hangi Koşullarda Aktardıkları/Transfer Ettikleri Transfer Türü

değerlendirilebilir. Tablo 5. öğretimde kullanacakları teknikleri içermektedir. Öğretmen adaylarının ileride meslek hayatlarında öğrencilerine matematiksel yapıları öğretmek için kullanmayı düşündükleri cevaplar incelendiğinde, 3D Grafik uygulamalı ve görsellerle destekli (%12), ilişkilendirme (%5) ve göstererek öğretme (%5) en fazla görülen cevaplardır. Bu soruya cevap vermeyen öğretmen adaylarının sayısı (n=22, %54) büyük çoğunluktadır. Öğretmen adayları cevaplarını verirken şimdiye kadar sık duydukları veya kullandıkları yöntem, materyal veya teknolojileri düşünmüş olabilirler. Ancak uygulama alanında çok tecrübesi olmayan öğretmen adayları düşünüldüğünde, henüz iyi yöntemleri keşfetmemiş olabilirler. Bu sebeple soruya verilen cevap oranı düşmüş olabilir. Elde edilen diğer bir bulgu ise, öğretmen adaylarının öğrendikleri matematiksel yapıları benzer bir yapıya nasıl veya hangi koşullarda aktardıkları/transfer ettikleridir.

Tablo 6 incelendiğinde öğretmen adayların en çok ilişki kurarak (%32) ve örneklendirme yoluyla (%12) bilgi aktarımı yaptığını öne sürmektedir. Burada öğretmen adayları cevaplarını ayrıntılı detaylandırmamıştır. Bu sebeple hangi koşullarda aktarım yaptıkları derinlemesine incelenememiştir. Soruya cevap vermeyen öğretmen adayları (%34) için, matematiksel yapılar hakkında iyi bilgilere sahip olmadıklarında, yapılar arasında bağlantılar kurmak zor olabilir.

Tartişma VE Sonuç

Bu çalışmada basit matematiksel yapı örneklerinin öğretmen adayları tarafından nasıl öğrenildiğinin incelenmesi, ayrıca bu yapıları meslek hayatında nasıl öğreteceğinin de araştırılması amaçlanmıştır. Elde edilen sonuçlardan ilki, öğretmen adaylarından beklendiğinin aksine genellikle onlara yöneltilen matematiksel yapıları tanıyamadıkları belirlenmiştir. Ancak çağrıştırdıkları özellikleri belirtmişlerdir. Matematiksel yapıları adlandırmayan veya düşüncesini belirtmeyen öğretmen adaylarının sayısının çoğunlukta olduğu görülmüştür. Yani 1. Araştırma sorusuna vereceğimiz cevap, matematiksel yapı farkındalığının düşük olduğu şeklindedir. Bu da öğretmen adaylarının bu matematiksel yapıları iyi bilmediklerini ve bu sebeple adlandıramamış olduklarını düşündürmektedir. Öğretmen adaylarından yapı elemanlarının neler olduğunu belirtmeleri istendiğinde, genelde çok maruz kaldıkları (formüller, şekiller) listelenirken, dışında kalan diğer tüm yapı elemanları listelenmemiştir. Bu da yapı farkındalığının yapının elemanlarının yeterince bilinmemesinden veya ayırt edilememesinden doğduğunu göstermektedir. Elde edilen bu bulgu, Gronow vd. (2020)’nin yürüttüğü çalışmadaki bulgular ile benzerlik göstermektedir. Gronow vd. (2020), öğretmenlerle yürüttükleri çalışmada matematiksel yapının yüzeysel olarak anlaşıldığını ve kullanıldığını ortaya koymuştur. Beklenilenin aksine, 5. şekilde dik üçgenlerden oluşan şekli- deniz kabuğu, 7. şekilde Torus geometrik gösterimini- simit ve 8. şekilde Mobius şeridini- spor bandı gibi bir nesneye benzerlik içeren cevaplar verememişlerdir. Bu da öğretmen adaylarının onlara verilen yapıları bilgileri dışında günlük hayatlarıyla bağdaştıracak şekilde hatırlamadıklarını gösterebilir. Matematiksel yapılar gündelik hayattaki örneklerinden bağımsız düşünülmektedir. Alkan ve Bukova Güzel (2005) de yaptıkları çalışmalarında öğretmen adaylarının matematiksel düşünme düzeylerinin gelişimlerini incelemişlerdir. Matematiksel düşünmeyi ölçmek amacı ile geliştirdikleri testte, öğretmen adaylarının genellikle farklı yaklaşımları denemediği ve pes ettiği sonuçları gözlemlenmiştir. Bu sonucun matematiksel yapılar ile gündelik yaşam ilişkisi kurmamalarından kaynaklı olduğu düşünülmüştür. Hâlbuki 4. Şekil, Anadolu’da bazı evlerin çatılarında kullanılan kırlangıç çatı kavramından görselini almaktadır. Torus matematiksel yapıdır ama aynı zamanda simit görselidir. 5. Yapı köklerden Theodorus Tekeri gerçek dünyadaki salyangoz yapıya benzerlik gösterir ama bu nerdeyse hiçbir öğrenci tarafından fark edilmemiştir.

Yıldız Journal of Educational Research, Vol. 8, Issue. 2, pp. 110−121, December, 2023

İlginçtir ki mantık matematiksel yapı olarak netliğini korumakla birlikte bazı yapıların (fonksiyonlar gibi, geometri, 3 boyut gibi) beklenildiği kadar farkındalığının oluşmadığı gözlemlenmiştir. Öğretmen adaylarının matematiksel yapılar ile elemanları ile eşleştirilmesi kapsamında elde edilen verilerde 10 farklı matematiksel yapıyı eşleştirirken her bir yapıya ait farklı elemanlar bulunmaktadır. En fazla olarak doğru eşleştirme yapılan matematiksel yapılar ve elemanlar 1. Şekil iki kare farkı cebirsel gösterimi ve 6. Şekil p ve q içeren mantık gösterimidir. Birinci soruda öğretmen adaylarının matematiksel yapılara yönelik hakimiyetinin düşük olduğu görülmüştür, ancak matematiksel yapıların içerdiği elemanlara daha hâkim oldukları söylenebilir. Benzer olarak, Kaba ve Şengül (2017) öğretmen adaylarının matematiğe yönelik düşüncelerini belirlerken, matematiği ifade edebilmek amacıyla en fazla olarak matematiğin yapısına ve içeriğine önem verdiklerini ortaya koymuşlardır. Mevcut çalışmada ayrıca matematiksel yapı ve elemanlarını eşleştiremeyen öğretmen adayları da bulunmaktadır. Öğretmen adaylarına matematiksel yapı ve elemanları arasındaki eşleştirmeyi yaparken kurulan ilişkiler sorulmuştur. Öğretmen adaylarının cevapları arasında en çok görsel ilişkiler (%22), önbilgi (%20) ve formüller (%7) cevabı bulunmaktadır. Cevap vermeyen öğretmen adayları da çoğunlukta olduğu görülür (%22). Bunun nedeni olarak öğretmen adaylarının matematiksel yapıları iyi tanıyamıyor olması söylenebilir. İyi tanıma olmadığında içerdiği elemanlar hakkında da ilişkiler kurulamayabilir. Bir yapının tanınmasında veya öğrenilmesinde birinci aşama yapının bütünselliğinin sonrasında ise elemanlarının ayrıştırılması olarak yorumlanabilir fakat yapının bütünselliğini bilemeyen öğrenciler elemanlardan tahmin yürütme konusunda da geriden gelmektedirler. Görsel ilişkler çoğunlukla geometrik ilişkiler olarak düşünülebilir, formüller ise cebirsel ilişkilerdir. Önbilgi bu durumda her ikisini birbirine bağlayan bir çeşit yapıştırıcı görevi görmektedir. Piaget nin dediği gibi önbilgi doğru şekilde yapısallaştırılamadığında matematiksel yapı da net olarak öğrenilememektedir. Çeziktürk (2022) araştırmasında belirttiği gibi, her yeni bilgi ile önbilgi sarsılmakta ve yeniden yapısallaştırılması ihtiyacı duyulmaktadır. Bu da yapı öğrenilirken duraksama, en başa dönme ihtiyacı, yapıların birbirine karıştırılması, yapı özlerinin anlaşılamaması gibi sorunları beraberinde getirmektedir. Öğretmen adaylarının matematiksel yapıları önceden nasıl öğrendiği teknikler açığa çıkarılmaya çalışılmıştır. Öğrenmelerinde yardımcı olan teknikler arasında en fazla belirtilenler ezber (%15), okulda merak içinde öğrendikleri (%12), kitaplar (%5), sunuş (%5) ve görsel sunum (%5) olmuştur. Doruk ve Güler (2014) yılında yaptıkları çalışmalarında, matematiksel ispat yaparken öğretmen adaylarının dersleri geçmek için öğrenilmeden mecburen ezberlenen ve gereksiz aktiviteler olarak gördüklerini belirtmiştir. Ayrıca benzer olarak Güler, 2016 yılında yaptığı çalışmasında da öğretmenlerin ispatları ezber yoluyla öğrendiklerini belirtmiştir. Keser (2017) de matematik öğretmen adayları ile

yaptığı araştırmada, trigonometri konularını öğrenirken öğretmen adaylarının anlamlı öğrenmeler yerine ezberi tercih ettiğini belirtmiştir. Mevcut çalışmada öğretmen adaylarının birçoğu (%46) ise yapıları nasıl öğrendiğine dair cevap vermemiştir. Bunun nedeni olarak nasıl öğrendiklerini hatırlayamıyor olmaları söylenebilir. Ezber, öğrenmedeki zamanı kısaltıyor gibi görünmekle birlikte kalıcı öğrenmeye ket vurmaktadır. Ve küçük bir farklılıkta yeni matematiksel yapı eskilerin üzerine net olarak oturtulamadığından havada kalmakta ve yapısal bütünlük korunamamaktadır. Öğretmen adaylarının ileride meslek hayatlarında öğrencilerine matematiksel yapıları öğretmek için kullanmayı düşündükleri yöntemlerin neler olduğu sorusu yöneltilmiştir. Cevaplar incelendiğinde, 3D Grafik uygulamalı ve görsellerle destekli (%12), ilişkilendirme (%5) ve göstererek öğretme (%5) en fazla görülen cevaplardır. Öğretmen adayları cevaplarını verirken şimdiye kadar sık duydukları veya kullandıkları yöntem, materyal veya teknolojileri düşünmüş olabilirler. Bu soruya cevap vermeyen öğretmen adaylarının sayısı (%54) büyük çoğunluktadır. Henüz mesleğe başlamamış ve bu bağlamda çok sınıf içi tecrübesi olmayan öğretmen adayları düşünüldüğünde, henüz iyi yöntemleri keşfetmemiş olabilirler. Bu sebeple soruya verilen cevap oranı düşmüş olabilir. Esendemir, Çırak ve Samancıoğlu (2015), öğretmen adaylarını matematiğe yönelik düşüncelerini incelemiştir. Elde ettikleri sonuçlarda, bu çalışmadan farklı olarak öğretmen adayları matematiksel kavram ve kuralları öğretirken farklı yöntemleri ve gösterimleri etkili olarak kullanabileceklerini savunmuşlardır. Elde edilen son sonuç ise, öğretmen adaylarının öğrendikleri matematiksel yapıları benzer bir yapıya nasıl veya hangi koşullarda aktardıkları/transfer ettikleridir. Öğretmen adayların en çok ilişki kurarak (%32) ve örneklendirme yoluyla (%12) bilgi aktarımı yaptığı sonucu elde edilmiştir. Burada öğretmen adayları cevaplarını ayrıntılı detaylandırmamıştır. Bu sebeple hangi koşullarda aktarım yaptıkları derinlemesine incelenememiştir. Soruya cevap vermeyen öğretmen adayları (%34) için, matematiksel yapılar hakkında iyi bilgilere sahip olmadıklarında, yapılar arasında bağlantılar kurmak zor olabilir. Kaminski, Sloutsky ve Heckler (2009) makalelerinde, öğrenciye sunulan somut örneklerin ilk öğrenmelerde olumlu olabileceğinden bahsetmiştir. Bazı somutluklar öğrenme sürecinde bir avantaj olacağı tartışılmış ancak somut öğrenmelerin yeni bağlamlarda öğrenilen yapıyı tanımakta güçlük oluşturabileceği yani transfere de engel olabileceğinden bahsedilmiştir. Öğretmen adayları bu soruda örnekler içindeki yapısal çözümlemelerle ortaya çıkan yapısal benzer parçaları da görememişler ve yapıyı net olarak çözümleyememişlerdir. Örneğin Theoderus tekerleğinde aynı üçgensel yapı sürekli olarak yinelenir, benzer durum kırlangıç çatısı örneğinde vardır. Trigonometrik fonksiyonun periyodik tekrarlamaları fark edilmemiştir. Yani birbirine benzerlik gösteren yapılar bile yeterince benzer olarak nitelendirilememişlerdir.

Yıldız Journal of Educational Research, Vol. 8, Issue. 2, pp. 110−121, December, 2023

Sonuçta matematiksel yapı farkındalığı üniversite 2. Sınıf matematik öğretmen adaylarında yeterince oluşmamıştır. Yapı farkındalığına yapının özellikleri, elemanları, bütünlüğü gibi konular ve bunların birbirlerine isomorfik benzerlikleri hiç hesaba alınmamıştır. Benzer şekilde, Vale vd. (2011) de öğretmenlerin uygulamalarına yapı farkındalığını yerleştirmelerini ve geliştirmelerini sağlayabilecek mesleki öğrenme yaklaşımları ve görevleri hakkında daha fazla araştırmaya ihtiyaç olduğunu belirtmiştir. İlgili çalışmaların arttırılmasının önemi ortaya çıkmaktadır.

Öneriler

Bu çalışmada, basit matematiksel yapıların öğretmen adayları tarafından nasıl öğrenildiği konusuna yardımcı literatür oluşturabilecek matematiksel yapı farkındalığı konusu incelenmiştir. İleride yapılacak çalışmalar için, matematiksel yapıların öğretimi bağlamında ilgili meslek hayatına başlamış olan farklı deneyimlere sahip öğretmenlerin durumları incelenebilir. Ayrıca matematiksel yapıların kullanıldığı farklı disiplinlerdeki öğretmen adaylarının ve öğretmenlerin de öğrenme ve öğretme süreçleri incelenebilir. Matematik öğretmen adaylarının matematiksel yapıları nasıl ve hangi koşullarda transfer ettiğine yönelik derinlemesine bilgi elde edebilmek için nitel yöntemlerin yoğunlukla kullanıldığı çalışmalar yürütülebilir. Hangi matematiksel yapılar arasında benzer ilişkiler kurulduğunun örnekleri hakkında görüşmeler yapılabilir. Ayrıca bu çalışmada öğrencilerin matematiksel yapıları günlük yaşamdan belirli nesnelere atfetmeleri beklenmiş, ancak istenilen sonuçlar elde edilememiştir. Öğrencilerin benzetim süreçlerini incelemek için metaforik çalışmalar da yürütülebilir. Veri toplama aracındaki matematiksel yapı örnekleri arttırılabilir, benzer yapılara daha direkt dikkat çekilebilir. Benzer araştırmalarda, veri toplama yapılmadan önce matematiksel yapılar hakkında öğrenciler bilgilendirilebilir. Örneklerle farkındalıklarının artması sağlanabilir. Etik: Bu çalışma, Marmara Üniversitesi Eğitim Bilimleri Enstitüsü Araştırma ve Yayın Etik Kurulu tarafından onaylanmıştır (Onay Numarası: 09-4, Tarih: 24.11.2022). Hakem Değerlendirmesi: Dış bağımsız. Çıkar Çatışması: Yazarlar, bu makalenin araştırılması, yazarlığı ve/veya yayınlanması ile ilgili olarak herhangi bir potansiyel çıkar çatışması beyan etmemiştir. Finansal Destek: Yazarlar bu çalışma için finansal destek almadığını beyan etmiştir. Ethics: This study was approved by Marmara University Institute of Educational Sciences Research and Publication Ethics Committee (Approval Number: 09-4, Date: 24.11.2022). Peer-review: Externally peer-reviewed. Conflict of Interest: The authors declared no potential conflicts of interest with respect to the research, authorship, and/or publication of this article.

Financial Disclosure: The authors declared that this study has received no financial support.

Share and Cite