A new method for solving the resection problem

Abstract

Keywords: Resection; geodetic measurement; circle; deltoid.

1. Gi̇ri̇ş

Sayısal sonuçlar bazı hata kaynaklarından olumsuz olarak etkilenir. Hata, ölçme ve hesap sonuçlarının doğruluk ve/veya incelikten(presizyondan) uzaklaşmasıdır. Ölçmelerde ve hesaplamalarda hatalar doğruluk ve incelik ile ifade edilir. Doğruluk, ölçme ve hesap sonuçlarının gerçek değere yakınlığını; incelik ise ölçme ve hesap sonuçlarının birbirine yakınlığı olarak ifade edilir. Duyarlık, ölçü aletlerinin ölçebileceği en küçük birimdir. Ölçmeler ile elde edilen giriş verileri rast gele hataları içerirler. Jeodezik çalışmaların bütün basamaklarının her adımında

e-mail / e-ileti: veli.akarsu@gmail.com, tel: (372) 257 40 11 / 1127

kendini kontrol olanağı bulması demek, jeodezik verilerin hatasının belirlenmesi ve kaçınılmaz rastlantısal ölçü hatalarının etkilerini düzenli hatalardan en geniş ölçüde ayrılması demektir [1]. Jeodezik ölçmelerin güvenirlik ve doğruluklarını geliştirmek jeodezide önemli bir ödevdir. Jeodezik ölçmelerin bu niteliklerini geliştirmek geçmişte vardı, günümüzde var ve gelecekte de olacaktır. Her bilim alanı kendi inceleme konusu ile öne çıkmaktadır. Jeodezinin inceleme konusu ise yeryuvarı, içi ve yakın çevresinde bulunan gezegenler arasındaki geometrik ve fiziksel büyüklüklerin zaman içerisindeki değişimini incelemeye yönelik ölçme , hesaplama , değerlendirme ve yorumlamayı konu edinen bir bilim dalıdır. Jeodezi, çeşitli nedenlerle verilerinin kalitesini düzeltmek ve sonuçlarını daha çabuk kazanmak için bilgi ve yöntemlerini geliştirmek zorundadır [1]. İnsanların hayatlarına, faaliyetine hakim olan kuvvet yaratma ve icat kabiliyetidir [2]. Jeodezik geriden kestirme(resection) problemi bilinmeyen bir noktanın (ölçme yapılan noktanın) konum koordinatlarının, konum koordinatları bilinen en az üç bilinen noktaya yapılan üç doğrultu ölçüsü yardımıyla hesaplanan iki düzlem açı yardımıyla ya da konum koordinatları bilinen iki noktaya yapılan iki uzunluk ölçüsü ile hesaplanmasıdır. Eğer kestirme noktasından üç bilinen noktaya üç uzunluk ölçüsü yapılırsa kestirme noktasının koordinatları En Küçük Kareler Yöntemine(EKKY) göre dengelemeyle hesaplanır. Düzlem açı Öklid uzayında iki doğrultu arasında yönlendirilmiş açıdır [3]. Oklid uzayında düzlem açı tanımı ise birim çember üzerindeki yay parçası uzunluğunun radyan türünden ifadesidir [4]. Bir objeye ait geometri ancak ve ancak uzunluk ve açı büyüklüklerinin ölçülmesiyle belirlenir [5]. Bir mühendislik problemi modellenirken, problemin dayandığı matematik iyi kavranmalı ki, matematik çözüm ile üretilen sonuçlar doğru yorumlanabilsin [6]. Düzlem açı, doğrultu ölçme yöntemiyle üretilen ölçülerin indirgenmiş değerlerinin ortalaması alınarak hesaplanır [7]. Uzunluk ise elektromağnetik uzunluk ölçer ile ölçülür. 1970 li yıllardan sonra elektromağnetik uzunluk ölçerlerle uzunluk ölçümünün nedeni uzunlukların doğru, ekonomik, çabuk ve doğa koşullarına daha az bağımlı ölçülebilmesi yanında, ölçü amacının gerektirdiği doğruluğu elde etmek için ölçü sayısını artırmak düşüncesinden kaynaklanmaktadır [8]. Geriden kestirme ile bir noktanın konumu belirlenecek ise en az bilinen dört noktaya gözlem yapılmalı ve oluşan ikişerli iki üçgene göre hesap yapılmalıdır[9]. Geriden kestirmede eğer sadece 3 nokta ile çözüm yapılırsa matematiksel bir çözüm elde edilir. Bu çözüm ölçülerin doğruluğunu kontrol etmez. Ölçülerin doğruluğu, en az dört noktanın geriden kestirmede kullanılması ile anlaşılabilir. Elde edilen koordinatlar hoşgörü sınırları içinde birbirine eşit çıkarsa ortalama teşkili ile yeni nokta koordinatları belirlenir. Aksi taktirde ölçüleri yeniden yapmak gerekir [10]. Ölçme noktasından koordinatları bilinen üçten fazla noktaya doğrultu ya da ikiden fazla noktaya uzunluk ölçüleri yapılırsa, ölçme noktasının koordinatları EKKY ile dengelemeli olarak hesaplanır. Geriden kestirme problemi, günümüzde de önemini korumaktadır. Çünkü, Global Konum Belirleme Sistemi(GPS) ile bir ölçme noktasının yermerkezli iki, üç ya da dört boyutlu koordinatlarının belirlenmesinin mantığı, geriden kestirme probleminin mantığına dayanmaktadır. Yeryuvarında koordinatları bilinmeyen bir noktanın dört boyutlu koordinatları (3B+zaman), ölçme noktasında bulunan bir alıcı yardımıyla, koordinatları bilinen uydulara yapılan uzunluk ölçmeleri ile geriden kestirme yöntemiyle belirlenmektedir. Geriden kestirmenin trigonometrik ilk çözümü 1617’de Willebrord Snellius tarafından yapılmıştır [11,13]. Problemin bazı tür çözümleri geçmişte belli hesaplama araçlarına uygun geliştirilmiştir [12]. Geriden kestirme yöntemi ile güvenilir ve presizyonlu sonuçlar elde etmek ve tehlikeli çember durumunu ortadan kaldırmak için koordinatı bilinen 4. noktaya da ölçme yapılmalıdır. Geriden kestirmede sadece bir tek noktada ölçme yapıldığından ölçme hatalarına karşı güvensiz, fakat diğer yöntemlere göre ekonomik bir yöntemdir [14]. İki boyutlu geriden kestirme probleminin çözüm kümesi, iki çemberin ortak kesişme noktalarından birisidir. Günümüzde iki boyutlu geriden kestirme probleminin çözümünde kullanılan yöntemler : Collins, Kaestner, Delambre, Cassini ve Ansermet yöntemleridir. Bu yöntemler [15-23] kaynaklarında mevcuttur.

İki boyutlu geriden kestirme probleminin çözüm yöntemleri uygulanırken, koordinatları bilinen noktalar ile ölçme noktasının bir çember üzerinde bulunmaları durumunda, tek anlamlı çözüm yerine, sonsuz sayıda çözüm söz konusu olur. Tek anlamlı çözüm üretmeyen bu çembere literatürde tehlikeli çember adı verilmiştir. Bu çalışmada, iki boyutlu geriden kestirme problemi için yukarıda anılan sayısal çözüm yöntemlerinden farklı yeni bir sayısal çözüm yöntemi geliştirilmiştir. Yeni yöntemin teorik temellerinin açıklanması ve sayısal uygulamasının yapılması bu çalışmanın özünü oluşturmaktadır.

2. YENİ Yöntemi̇n Teori̇si̇

Şekil 1. Uzunluk veya doğrultu ölçümü ile geriden kestirme problemi Geriden kestirme probleminin yeni çözüm yöntemi için Şekil 1’e göre çıkartılan analitik ifadelerde kullanılacak sembollerin anlamları aşağıdaki gibidir:

P ( y P , x P ) : Koordinatı hesaplanacak yeni nokta A( y A , x A ) , B ( y B , x B ) , C ( y C , xC ) : Koordinatları bilinen noktalar PA = A A , PB = A B , PC = A C : Ölçülen yatay uzunluklar

rA , rB , rC : P noktasından A, B ve C noktalarına ölçülen yatay doğrultular ∠APB = α , ∠BPC = β : Hesaplanan yatay iç açılar ( AB) = ∠XAB , ( BC ) = ∠XBC , ... : Açıklık açıları AB = a, BC = b : Doğru parçası uzunlukları O1 , O2 : Ç1 ve Ç 2 çemberlerinin merkezleri O1 P = O1 A = R1 , O2 P = O2 C = R2 : Ç1 ve Ç 2 çemberlerinin yarı çap uzunlukları Yeni çözüm yöntemi, çember, kesişen iki çemberin kuvvet ekseni ve deltoid geometrisi mantığına dayanmaktadır. Şekil 1’e göre A, B ve P noktalarından O1 merkezli ve R1 yarı çaplı

Ç 2 (O2 , R2 ) çemberi geçtiği varsayılır. Bu çemberlerin geometrisi ancak merkezlerinin dik koordinatları ile yarı çaplarının bilinmesiyle olanaklıdır. Önce çemberlerin yarı çapları,

y − yA x − xA yB − y A = B , a= B xB − x A sin ∠XAB cos ∠XAB

A 2 + A 2C − b 2 β = rC − rB = arc cos B 2A B A C a b R1 = , R2 = 2 sin α 2 sin β

(1), (2), (3) ve (4) eşitlikleri ile hesaplanır. Çemberde çevre açı ve teğet - kiriş açılar arasındaki ilişkiden hareketle, Şekil 1’e göre,

Δ AO1 B ve Δ BO2 C ikiz kenar üçgenlerin ∠BAO1 = ∠ABO1 = γ ∠BCO 2 = ∠CBO 2 = δ taban açıları ise (5) eşitliklerindeki α ve β açılarının (6)’da ki 1., 2., 3. ve 4. seçeneklerinde belirtilen dar ve / veya geniş iç açı olma durumlarına göre aşağıdaki (6) eşitliklerinden birisiyle hesaplanır. 1. 2. 3. 4.

α 〈 100 g , β 〈100 g ise γ = 100 g − α , δ = 100 g − β α 〉 100 g , β 〉100 g ise γ = α − 100 g , δ = β − 100 g α 〈 100 g , β 〉100 g ise γ = 100 g − α , δ = β − 100 g α 〉 100 g , β 〈100 g ise γ = α − 100 g , δ = 100 g − β

A, B ve C noktalarından, Ç1 ve Ç 2 çemberlerinin O1 ve O 2 merkezlerine olan açıklık açıları ise,

∠XBO2 = ∠XBC + δ ∠XCO 2 = ∠XCB − δ (7) eşitlikleri ile hesaplanır.

Ç1 ve Ç 2 çemberlerinin O1 ve O 2 merkezlerinin dik koordinatları ise (4) ve (7) eşitliklerinden üretilen veriler kullanılarak, 304

y O1 = y A + R1 sin ∠XAO1 ≅ y B + R1 sin ∠XBO1 xO1 = x A + R1 cos ∠XAO1 ≅ x B + R1 cos ∠XBO1

y O2 = y B + R2 sin ∠XBO2 ≅ yC + R2 sin ∠XCO2 xO2 = x B + R2 cos ∠XBO2 ≅ xC + R2 cos ∠XCO2 (8) eşitlikleri ile hesaplanır. (8) eşitliklerinden ise

(9) eşitlikleri hesaplanır. Şekil 1’e göre yarı çapları R1 ve R2 , merkezleri arasındaki uzaklık c ve çemberlerin

kesişme açısı ∠O1 PO2 = ∠O1 BO2 = ω 3 olmak üzere kesişen iki çember için,

2. R1 R2

(11) eşitliği yazılabilir. (11) eşitliğinin sol tarafı kesişen çemberler ve sağ tarafı ise kesişmeyen çemberler için anlamlıdır. Şöyle ki, 2

2. R1 R2

η 〈 1 ise çemberler farklı iki noktadan kesişir. Çember merkezleri arsındaki uzaklık

Ç1 ve Ç 2 çemberleri Şekil 1 gereği bilinen B ve aranan P noktalarında kesişirler. (13) eşitsizlik koşulunun sağlanması geriden kestirme probleminin tek anlamlı çözümünün olduğunu gösterir. Tehlikeli çember olarak ifade edilen A, B, C ve P noktaları aynı çember üzerinde olmaları durumunda ise P noktasının dik koordinatları için sonsuz çözüm durumu oluşur.

η = 1 ise ω 3 = 0 g olur ve Ç1 ve Ç 2 çemberleri içten teğet olur.

η = −1 ise ω 3 = 200 g olur ve Ç1 ve Ç 2 çemberleri dıştan teğet olur.

η 〉 1 ise Ç1 ve Ç 2 çemberleri kesişmez ve çemberlerin ortak noktaları olmaz.

Şekil 1’de Ç1 ve Ç 2 çemberlerinin O1 ve O2 merkez noktaları ile bilinen B ve P noktaları tarafından oluşturulan geometrik yapı bir deltoiddir.

Deltoid özelliği gereği, çemberlerin kuvvet ekseninin üzerinde bulunan B ve P noktalarındaki,

∠O1 BO2 ve ∠O1 PO2 açıları birbirine eşittir. Çemberlerin merkezlerinin, P ve B noktaları ile oluşturduğu

Δ BO1O2 düzlem üçgenlerin, ω1 , ω 2 ve ω 3 iç açılarının hesabı ise açıklık açıları farkından, ∠ PO1O2 = ∠ BO1O2 = ω1 = ∠ XO1O2 − ∠ XO1 B ∠ PO2 O1 = ∠ BO2 O1 = ω 2 = ∠ XO2 B − ∠ XO2 O1 ∠ O1 PO2 = ∠ O1 BO2 = ω 3 = ∠X BO1 − ∠ XBO2

ω1 + ω 2 + ω 3 = 200 g ilişkisi ile (14) eşitliklerinden hesaplanan açıların doğruluğu kontrol

edilir. İki çemberin kuvvet ekseni, bu çemberlere göre aynı kuvvetteki bir noktadan, çember merkezlerini birleştiren doğru parçasına indirilen dik bir doğrudur. Kesişen iki çemberin kuvvet ekseni ise ortak kirişi taşıyan doğrudur. Şekil 1’e göre Ç1 ve Ç 2 çemberlerinin kuvvet ekseni ortak kesim noktalarından bilinen B noktası ile aranan P noktasından geçen ortak uzunluğunu içine alan doğrudur. üzerinde olmasından dolayı,

değerleri çarpımı eksi bire eşit olmasından dolayı ∠XBP açıklık açısı,

(15) eşitliğinden hesaplanır. B noktası ile çember merkezleri O1 ve O2 noktalarından P noktasına olan açıklık açıları,

∠XO1 P = ∠XO1O2 + ω1 , ∠XO2 P = ∠XO2 O1 − ω 2 ∠XBP = ∠XBO2 − ω 2 + 100 g = ∠XBO1 + ω1 − 100 g 306

(16) eşitlikleri ile hesaplanır. Şekil 1’e göre BP kiriş uzunluğu ise,

(17) eşitliği ile iki kez kontrollü olarak hesaplanır. Koordinatları bilinen O1 ,O2 çember merkezleri ve B noktasından, P noktasına olan açıklık açıları ve uzunluklar bilindiğinden P ( y P , x P ) noktasının dik koordinatları,

y PO2 = y O2 + R2 sin ∠XO2 P xPB = xB + BP cos ∠XBP xPO1 = xO1 + R1 cos ∠XO1 P

xPO2 = xO2 + R2 cos ∠XO2 P (18) ve (19) eşitlikleri ile hesaplanır. P noktasının sonuç koordinatları ise aritmetik ortalama alınarak ,

y P = ( y PB + y PO1 + y Op2 ) 3 , x P = ( x PB + x PO1 + x Op2 ) 3

4. Sonuç

Yeni çözüm yöntemi; çember, çemberde kuvvet ekseni ve deltoid gibi kolay anlaşılır geometrik kavramlara dayandırılması nedeniyle diğer çözüm yöntemlerinden ayrılmaktadır. Dolayısıyla geliştirilen yeni çözüm yöntemi, mevcut yöntemlerden tamamen farklı ve orijinal bir yöntemdir. Geriden kestirme probleminin çözümü için geliştirilen yeni çözüm yönteminin teorisi bu çalışmada açıklanmış ve üç noktalı sayısal uygulaması Çizelge 2’de ve dört noktalı sayısal uygulaması ise, Çizelge 4 ve Çizelge 5’de verilmiştir. (3.1)’deki birinci sayısal uygulama (6) formülünün 4. seçenek uygulaması olup, (3.2)’deki iki sayısal uygulama ise (6) formülünün 3. ve 4. seçeneklerinin uygulamalarıdır. Geriden kestirme yöntemiyle, bir P noktasının koordinatlarının

hesabı için P noktasından koordinatları bilinen dört noktaya yapılan jeodezik ölçüler ile hem ölçülerin hem de P noktasının koordinatlarının hesabının doğruluğu kontrol edilmektedir. Bu durum (3.2)’deki uygulamaların çözümü olan Çizelge 4 ve Çizelge 5’de gösterilmiştir. Oysa bilinmeyen bir P noktasından koordinatları bilinen üç noktaya yapılan jeodezik ölçüler ile böyle bir kontrol olanağı yoktur. Bu durum ise (3.1)’deki uygulamanın çözümü olan Çizelge 2’de gösterilmiştir. Yeni çözüm yönteminin aşamalarından olan çember belirleme işlemi( (1)’den (9)’a kadar olan hesaplamalar) gerçekleştirildikten sonra, probleme ait noktalar kümesinin uygun bir geometri oluşturup oluşturmadığı, diğer bir deyiş ile problemin çözümünün olup olmadığı, (12) eşitliğinden üretilen η < 1 ölçütü ve (13) bağıntısı ile kararlaştırılmaktadır. Bu karar süreciyle kestirme noktasından yapılan jeodezik ölçülerin yeniden yapılmasına veya noktalar arasında uygun geometri oluşturulmasına karar verilebilmektedir. Giriş bölümünde bahsedilen geriden kestirme probleminin çözüm yöntemlerinde problemin çözümünün olup olmadığı yönünde bir karar sürecinin olmaması, yeni çözüm yönteminin mevcut yöntemlere göre bir avantajı ve ekonomik yönüdür.

Share and Cite