A pratical method for dynamic analysis of multistorey buildings according to continuum approximation
* Author to whom correspondence should be addressed.
Sigma Journal of Engineering and Natural Sciences 2005, Vol. 23, Issue 4, pp. 65-77; doi.org/10.62051/ytu.sigma-journal-of-engineering-and-natural-sciences-a-pratical-method-for-dynamic-analysis-of-multistorey-buildings-according-to-con
Abstract
Keywords: Continuum system; Period; Effective participating mass ratio.
1. Gi̇ri̇ş
Yapıların statik ve dinamik analizi için kullanılan yöntemlerden birisi de sürekli sistem hesap modelini esas alan yaklaşımdır. Bu hesap tarzı yapı özellikleri yapı yüksekliği boyunca değişmeyen yapılar için oldukça pratik bir şekilde uygulanabilmektedir. Literatürde ilk kez 1960‘lı yılların başlarında kullanılmaya başlanan yönteme ilişkin yayınlara bakıldığında çeşitli farklılıkları içeren bir çok çalışmanın mevcut olduğu görülmektedir. Rosman 1974 ‘de yatay yük etkisi altındaki boşluklu perdelerin çizelgeler yardımıyla statik hesabı için, daha sonraları “Sürekli Bağlantı Yöntemi” adıyla anılacak bir yaklaşım önermiştir [1]. Sigalov ve arkadaşları (1976) bu hesap yöntemini oldukça geniş bir şekilde ele alarak genel perde çerçeve sistemlerin statik ve dinamik analizi için çeşitli bağıntılar sunmuşlardır [2]. Bilyap (1979) yayınladığı kitap ile bu prosedürü “Diferansiyel Denklem Yöntemi” adıyla tanıtmış ve geliştirmiştir [3]. Bu çalışmalarda özellikle çok katlı taşıyıcı sistemlerde önem kazanan eksenel deformasyonun etkisi yeterli hassasiyette dikkate alınmamıştır. Bu konuda son yıllarda yapılan çalışmalara bakıldığında, Zalka (2001) perde-çerçeve sistemlerin doğal açısal frekanslarının tayini için sürekli sistem hesap modeline dayanan basit bir yöntem önermiş ve sayısal örnekler üzerinde sonlu elemanlar yöntemine olan yakınsaklığını araştırmıştır [4]. Anılan çalışmada iki yöntemin sonuçları arasındaki maksimum fark %7 olarak bulunmuş ve sunulan yöntemin sonlu elemanlarla elde edilen sonuçlara kıyasla oldukça yakın değerler verdiği tespit edilmiştir. Zalka çalışmasında dinamik analizde eksenel deformasyonların katkısını göz önüne alabilmek amacıyla Föppl-Papkovich teoremini dikkate alan yaklaşık bir bağıntı önermiştir. Ayrıca yazar sürekli sistem hesap modelinin ayrık sistem hesap modeline göre, kat kütlesinin yapı yüksekliği boyunca yayılı olmasından doğan hata miktarını düzeltmek amacıyla çok sayıda örnek üzerinde yaptığı çalışmalardan elde etmiş olduğu bir düzeltme katsayısı tanımlamıştır. Söz konusu çalışmada dinamik haldeki iç kuvvetlerin bulunmasına yönelik herhangi bir bağıntı önerilmemiştir. Potzsta ve Kollar (2003) çok katlı yapıların periyot ve modlarının tayini için sürekli sistem hesap modelini esas alan ve şekil değiştirmeye ait diferansiyel denklemeleri sayısal analiz ile çözen bir yöntem sunmuşlardır [5]. Çalışmada, perde-çerçeve sistemin yatay yükler altındaki davranışının Timoshenko kirişi veya eğilme kirişi olarak idealize edilemeyeceği vurgulanarak davranışın bu iki davranışı içeren bir sandviç kirişle idealize edilebileceği ifade edilmiş ve sonuca eşdeğer sandviç kirişin genel hareket denkleminin çözümü ile ulaşılmıştır. Çalışmada ayrıca değişik türdeki kafes elemanlara ait eşdeğer kayma rijitliği bağıntılarına da yer verilmiştir. Miranda ve Taghavi (2005) yapı özelliklerinin yapı yüksekliği boyunca değişmesi durumundaki kat öteleme, etkin kütle oranları ve periyot gibi dinamik karakteristiklerin yapı özelliklerinin düzenli olması durumundaki değerlere bağlı olarak belirlenmesi için bir dizi bağıntılar elde etmişlerdir [6]. Yazarlar çalışmalarının doğruluğunu göstermek üzere farklı deprem kayıtlarını dikkate alarak sonlu elemanlar deplasman yöntemiyle zaman tanım alanında analiz yapmışlar ve elde edilen sonuçları çalışmada önerdikleri yöntem ile karşılaştırmışlardır. Eksenel deformasyonların katkısını dikkate almayan Miranda ve Taghavi, çalışmalarında çok katlı olmayan perde-çerçeve yapılar için elde ettikleri sonuçları sonlu elemanlar yöntemi ile karşılaştırdıklarında yeter yakınsaklıkta çözümler elde ettiklerini ifade etmişlerdir. Yukarıda özetlenen çalışmaların genelinde oldukça karmaşık olan bir çok bağıntıların kullanılmasıyla sonuca ulaşılmaktadır. Dinamik analiz için birbirine bağlı bir çok sayısal işlemin yapılması zorunluluğu çözümü oldukça karmaşık ve zaman alıcı bir hale getirmektedir. Bu çalışmada, çok katlı taşıyıcı sisteme sahip düzenli yapıların sürekli sistem hesap modeline göre dinamik analizi için eşdeğer sandviç kiriş kabulü ile eksenel şekildeğiştirmelerin de dikkate alındığı işlem prosedürü sunulmuştur. Çözüme ait dinamik büyüklüklerin kolaylıkla elde edilebilmesi için, prosedürde yer alan bir çok karmaşık bağıntı çizelgeler haline dönüştürülmüştür. İncelenen farklı sayısal uygulamalarda, ilk üç mod için yapıya ait periyot, mod katkı oranı, etkin kütle oranı, taban kesme kuvveti, devrilme momenti ve tepe noktası
A Pratical Method for Dynamic Analysis of Multistorey … yerdeğiştirmesi gibi dinamik özelliklerin Çizelgeler kullanılarak kısa sürede ve kolaylıkla elde edilebileceği gösterilmiştir.
2. Yöntem
Çok katlı burulmasız yapıların sürekli sistem hesap modeli esas alınarak mod birleştirme yöntemine göre dinamik analizine ait işlem prosedürü aşağıda sunulmuştur. Teorik analizlerde malzemenin lineer elastik olduğu, kat döşemelerinin kendi düzlemleri içinde sonsuz rijit olduğu, perdelerde klasik kiriş teorisinin uygulanabileceği, kiriş, kolon, perde boyutları ile kat yüksekliğinin yapı boyunca düzgün dağılı olduğu, yapının burulmasız ve düşey taşıyıcı elemanların ortogonal oldukları kabulleri yapılmıştır. Dinamik karakteristiklerin belirlenmesi amacıyla kullanılan katsayıların elde edilmesinde Matlab hazır paket programından yararlanılmıştır.
2.1. Periyot ve Modların Hesabı
Sürekli sistem hesap modelinde çok katlı yapı eşdeğer bir konsol kiriş davranışı ile temsil edilmektedir. Buna göre perde çerçeve taşıyıcı sistem Şekil 1. de görüldüğü gibi eşdeğer bir sandviç kiriş olarak ele idealize edilebilmektedir [5]. Eşdeğer sandviç kirişin solunda yer alan EI düşey elemanların eğilme rijitliklerini , sağında yer alan GA çerçeve ve/veya boşluklu perdelerin kayma rijitliklerini, EIg ise yine çerçeve ve/veya boşluklu perdelerin eksenel deformasyonlardan kaynaklanan eğilme rijitliklerini göstermektedir.
Şekil 1. Çok katlı perde – çerçeve sistemin eşdeğer sandviç kiriş olarak modellenmesi Hem eğilme hem de kayma davranışı gösteren perde çerçeve sistemlere ait genel hareket denklemi, EI
olarak yazılabilir [3,4]. Bu ifadede, EI dolu perdelerin toplam eğilme rijitliğini, GA boşluklu perdelerin ve/veya çerçevelerin toplam eşdeğer kayma rijitliğini, m kat kütlesini, h kat yüksekliğini göstermektedir. Katlara ait eşdeğer kayma rijitlikleri çerçeve elemanlar için, GA =
eşitlikleri ile hesaplanmaktadır [3]. Burada s ve r sırasıyla kolonların ve kirişlerin toplam redörlerini, n, m, h ve L yine sırasıyla kattaki toplam kolon, kiriş sayısını, kolon yüksekliğini ve kiriş açıklığını temsil etmektedir. Boşluklu perde durumunda ise eşdeğer kayma rijitliği ifadesi i adet boşluk için,
6EIbi [(d i + s i ) 2 + (d i + s i+1 ) 2 ] 12pEI bi 3 d i h (1 + ) 2 GA bi d i
toplam eşitliği ile bulunabilmektedir [5]. Burada, di boşluklu perdenin i. boşluk açıklığını, si ve si+1 , di ‘nci boşluğa komşu olan dolu elemanların genişliğini temsil etmektedir (Şekil 2.). EIbi ve GAbi, sırasıyla perdeleri yatayda birbirine bağlayan bağ kirişlerinin eğilme ve kayma rijitlikleri, p ise Poisson oranıdır.
Şekil 2. Boşluklu perdenin tanımlanması. Yüksek ve dar yapılarda etkin olan eksenel deformasyonların katkısı ise “Föppl Papkovich” teoremine göre etkili rijitlik olarak adlandırılan (GA)ef , (GA) ef = f (GA)
ifadesi ile tanımlanmıştır [4]. Bu bağıntıda (GA)ef kattaki efektif kayma rijitlini,. f ise hesap yapılan kattaki eksenel deformasyonun etkisini gösteren bir katsayı olup, f=
bağıntısı ile hesaplanabilmektedir. Burada feksenel ve fkayma sırasıyla eksenel ve kayma şekildeğiştirmelerinden dolayı oluşan frekans değerleridir ve aşağıdaki bağıntılarla hesaplanabilirler. 2 = f eksenel
1. GAh
Bu ifadelerde, H yapı yüksekliği, h kat yüksekliği, GA ve EIg ise sırasıyla benzer olan her bir katın kayma rijitliği ve eğilme rijitliğini göstermektedir. Bu bağıntıdaki Ig,değeri , n
ile elde edilebilmektedir. Bu ifadede Akolon kat düzlemindeki i. kolonun kesit alanını ti ise i ‘nci kolonun kattaki tüm kolonların ağırlık merkezine olan uzaklığını göstermektedir.
A Pratical Method for Dynamic Analysis of Multistorey … (1) nolu bağıntı ile tanımlanan 4. mertebeden homojen kısmi diferansiyel denklem, konumun (x) ve zamanın (t) fonksiyonları olarak değişkenlerine ayrılırsa (9) ve (10) nolu bağıntılarla tanımlanan biri konumun diğeri zamanın fonksiyonu olan adi diferansiyel denklemlere dönüşür. Y = X(x) T(t)
(9) nolu 4.mertebeden adi diferansiyel denklemin çözümü ile elde edilen şekil değiştirme fonksiyonunda sınır şartları dikkate alınarak sonuca gidilebilir. Bu bağıntılarda, ω ise zaman fonksiyonunun zamana göre ikinci türevidir. açısal frekans, T zamanın fonksiyonu, T Ankastre konsol bir çubuğun sınır koşulları olan tabanda yer değiştirme ve dönmenin, tepe noktasında ise kesme kuvveti ile momentin sıfır olması dikkate alındığında, perde-çerçeve sistemin n. moduna ait şekil değiştirme fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılabilir. ⎤ ⎡ α X n ( x ) = cosh(α n x ) cos(βn x ) + a n ⎢(sinh(α n x ) - n sin(βn x ))⎥ β n ⎦ ⎣
α n cosh(α n H) + βn cos(β n H ) 2 α n sinh(α n H ) + α nβ n sin(βn H )
dir. Sınır koşulları uygulandığında ortaya çıkan aşkın denklem, ∆= 2λ21λ22 + (λ41 + λ42) coshλ1 cosλ2 + λ1λ2 (λ21 - λ22) sinhλ1 sinλ2 = 0
bağıntısı ile elde edilir. Burada, λ1 = αnH ve λ2 = βnH çarpımları ile bulunurlar. (14) nolu aşkın denklem nümerik analizden bilinen herhangi bir yöntem ile çözülebilir. Bu çalışma kapsamında ise Matlab (2004) hazır paket programından yararlanılarak sonuca ulaşılmıştır [7]. Buna göre perde çerçeve sisteme ait i. periyotlar, Ti = Si H 2
bağıntısı ile elde edilebilirler. Bu ifadedeki q bir düzeltme katsayısıdır. Sürekli sistem hesap modeline göre yapılan çözümlemede kat kütlelerinin sistemde yayılı olarak bulunduğu kabulü yapılmaktadır. Oysa ki gerçek sistemlerde kat kütlelerinin büyük bir kısmı döşeme hizasında toplanmıştır. İşte bu hatayı düzeltmek için bir q düzeltme katsayısı bir katlı yapılar için q=0.243, iki katlı yapılar için q = 0.426, üç ve daha yüksek katlı yapılar için, n kat sayısını temsil etmek üzere, q=
(15) nolu bağıntıda i ‘inci moda karşılık gelen Si (i=1,2,3) değerleri çeşitli k = H GA / EI değerlerine bağlı olarak hesaplanmış ve Çizelge 1. de düzenlenmiştir. Çizelgede görülen Si değerlerinde k=0 değeri yalnızca perdelerden oluşan yapıları temsil etmekte iken k değeri arttıkça yapı gittikçe yalnızca çerçevelerden oluşan taşıyıcı yapı sistemine dönüşmektedir.
2.2. Modal Analize Esas Dinamik Karakteristiklerin Tayini
Taşıyıcı sistemi perde çerçevelerden oluşan ve yapısal özellikleri (kat yüksekliği, kayma ve eğilme rijitlikleri) yapı yüksekliği boyunca sabit olarak kabul edilebilen yapılar için mod katkı çarpanları, etkin kütle oranları, devrilme momenti ve tepe noktası maksimum yer değiştirme ifadeleri, yapının davranışında önemli olan ilk üç mod için aşağıda sunulmuştur. Mod katkı çarpanları: Mod katkı çarpanı ifadesi sürekli sistem dinamiğinden bilindiği üzere aşağıdaki bağıntıyla bulunabilmektedir [8]. H
(11) nolu bağıntı ile tanımlanan şekil değiştirme fonksiyonu (17) nolu bağıntıda yerine yazılarak gerekli integraller alınmış, ilk üç moda ait µ katkı çarpanları k = H GA / EI değerlerine bağlı olarak hesaplanarak sonuçlar Çizelge 2. de gösterilmiştir. Burada da k=0 değeri yalnızca perdelerden oluşan yapıların davranışını temsil ederken k değerleri büyüdükçe davranışın yalnızca çerçevelerden oluşan yapıların davranışına doğru yaklaştığı görülmektedir. Çizelge 1. Farklı k değerleri için ilk üç moda ait Si katsayıları k 0.0 0.1 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0
S1 1.788 1.784 1.710 1.529 1.332 1.160 1.020 0.908 0.818 0.744 0.683 0.631 0.586 0.547 0.513 0.483
S2 0.285 0.285 0.283 0.276 0.266 0.254 0.240 0.227 0.213 0.200 0.189 0.178 0.169 0.160 0.152 0.144
S3 0.102 0.102 0.102 0.101 0.100 0.098 0.096 0.094 0.091 0.089 0.086 0.083 0.080 0.078 0.075 0.073
k 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0 13.5 14.0 14.5 15.0 15.5
S1 0.432 0.411 0.391 0.373 0.357 0.342 0.328 0.315 0.304 0.293 0.282 0.273 0.264 0.256 0.248 0.240
S2 0.132 0.126 0.121 0.116 0.111 0.107 0.103 0.100 0.096 0.093 0.090 0.087 0.085 0.082 0.080 0.078
S3 0.068 0.066 0.064 0.061 0.060 0.058 0.056 0.054 0.053 0.051 0.050 0.049 0.047 0.046 0.045 0.044
k 16.5 17.0 17.5 18.0 18.5 19.0 19.5 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0 100
S1 0.227 0.221 0.215 0.209 0.204 0.199 0.194 0.190 0.129 0.097 0.078 0.066 0.056 0.049 0.044 0.040
S2 0.073 0.072 0.070 0.068 0.066 0.065 0.063 0.062 0.042 0.032 0.026 0.022 0.019 0.016 0.015 0.013
S3 0.042 0.041 0.040 0.039 0.038 0.037 0.036 0.036 0.025 0.019 0.016 0.013 0.011 0.010 0.009 0.008
1.33. /k 0.8/k
bağıntısıyla hesaplanabilmektedir. (11) nolu bağıntı ile tanımlanan şekil değiştirme fonksiyonu (18) nolu bağıntıda yerine yazılarak gerekli işlemler yapılırsa, ilk üç moda ait etkin kütle oranı değerleri farklı k = H GA / EI değerlerine bağlı olarak hesaplanmış ve sonuçlar Çizelge 3 te
A Pratical Method for Dynamic Analysis of Multistorey … gösterilmiştir. Çizelgede de görüldüğü gibi yalnızca perdelerden oluşan yapılarda etkin kütle oranı değeri 1. mod için 0.61 değerini alırken yalnızca çerçevelerden oluşan yapılarda bu oran
0.81. değerine ulaşmaktadır. Diğer bir anlatımla birinci modun katkısı taşıyıcı sistemi
çerçevelerden oluşan yapılarda daha etkindir. Taban kesme kuvveti, bulunan etkin kütle oranından yaralanılarak, VT i = M . eko i . Sai
çarpımı ile elde edilir. Çizelge 2. Farklı k değerleri için ilk üç moda ait µ katkı çarpanları K 0.0 0.1 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0
k 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0
k 13.5 14.0 14.5 15.0 15.5 16.0 16.5 17.0 17.5 18.0 18.5 19.0 19.5 20.0
eko 2 0.09 0.10 0.09 0.09 0.10 0.09 0.09 0.10 0.09 0.09 0.09 0.09 0.09 0.09
eko 3 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.03 0.03 0.04 0.04
Çizelge 3. İlk üç moda ait etkin kütle oranları (ekoi) k 0.0 0.1 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0
eko1 0.61 0.61 0.62 0.62 0.63 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.70 0.71 0.71 0.72
eko 2 0.19 0.19 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.12 0.11 0.11 0.11
eko 3 0.07 0.07 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.05 0.05 0.05 0.05
k 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0
eko 1 0.72 0.73 0.73 0.73 0.74 0.74 0.74 0.75 0.75 0.75 0.75 0.76 0.76 0.76
eko 2 0.11 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.09 0.09 0.09 0.10 0.09 0.09 0.09
eko 3 0.05 0.05 0.05 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04
k 13.5 14.0 14.5 15.0 15.5 16.0 16.5 17.0 17.5 18.0 18.5 19.0 19.5 20.0
eko 1 0.76 0.76 0.76 0.77 0.76 0.77 0.77 0.77 0.77 0.77 0.77 0.77 0.78 0.78
Devrilme Momenti: Yapı tabanında oluşacak devrilme momenti modal analiz yardımıyla, H ⎡H ⎤ ⎢ ∫ X n dx ∫ X n xdx ⎥ 0 0 ⎦ mS = v m H 2 S Mom i = ⎣ ai i ai H 2 ∫ X n dx
bağıntısıyla bulunabilir. Burada Sai spektral ivme değeridir ve ilgili yönetmeliklerden alınır. İlk üç mod için. vi değerleri Çizelge 4. de görüldüğü gibi farklı değişik k = H GA / EI değerlerine bağlı olarak hesaplanmıştır. Çizelge 4. Farklı k değerlerine karşılık gelen ilk üç moda ait vi değerleri k 0.0 0.1 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0
v1 0.45 0.44 0.42 0.36 0.30 0.25 0.22 0.19 0.17 0.16 0.14 0.13 0.12 0.11
v2 0.039 0.039 0.039 0.037 0.034 0.031 0.027 0.025 0.022 0.019 0.018 0.016 0.015 0.014
v3 0.008 0.008 0.008 0.008 0.008 0.008 0.007 0.007 0.007 0.006 0.006 0.006 0.005 0.005
k 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0
V1 0.11 0.10 0.09 0.09 0.09 0.08 0.08 0.07 0.07 0.07 0.06 0.06 0.06 0.06
v2 0.013 0.012 0.011 0.011 0.010 0.010 0.009 0.009 0.008 0.008 0.008 0.007 0.007 0.006
v3 0.005 0.004 0.004 0.004 0.004 0.003 0.003 0.003 0.003 0.003 0.003 0.003 0.003 0.003
k 13.5 14.0 14.5 15.0 15.5 16.0 16.5 17.0 17.5 18.0 18.5 19.0 19.5 20.0
v1 0.06 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04
v2 0.006 0.006 0.006 0.006 0.005 0.005 0.005 0.005 0.005 0.005 0.005 0.005 0.004 0.004
V3 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002
Tepe Noktası Deplasmanı: Perde çerçeve taşıyıcı sistemin tepe noktasında meydana gelen yatay deplasman ise,
bağıntısıyla bulunabilir. Sdi, spektral yer değiştirme değeri olup yönetmeliklerden veya deprem kayıtlarından elde edilebilir. Burada yer alan Ψi değişkeninin farklı k = H GA / EI değerlerine bağlı olarak ilk üç mod için alacağı değerler ise Çizelge 5. de gösterilmiştir. Çizelgede, deplasman katsayısının değerinin yapının rijitliğinin artmasıyla büyüdüğü, bu değerin örneğin 1.mod için 1.57 şi şekildeğiştirme katsayısı örneğin birinci mod için 1.57 ile 1.29 arasında değiştiği görülmektedir. Çizelge 5. İlk üç moda ait Ψi değerleri k 0.0 0.1 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0
k 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0
k 13.5 14.0 14.5 15.0 15.5 16.0 16.5 17.0 17.5 18.0 18.5 19.0 19.5 20.0
3. İşlem Aşamalari
Perde çerçeve sistemlerin sürekli sistem hesap modeline göre dinamik analizi, yukarıda açıklanan bağıntılar ve hazırlanan Çizelgeler yardımıyla pratik olarak gerçekleştirilebilir. Bu kapsamda herhangi bir problemin çözümünde izlenecek olan adımlar aşağıda sıralanmıştır. 1. Yapının taşıyıcı sistemine ait kütle (m), yükseklikler (H, h), kayma rijitliği (GA), eğilme rijitliği (EI), eksenel rijitlik (EIg) gibi yapısal özellikleri belirlenir. 2. Dar ve yüksek yapılarda önem kazanan eksenel deformasyonların katkısını içeren eşdeğer rijitlik ifadesi (4) nolu bağıntı ile hesaplanır. 3. k = H GA / EI parametresi bulunur.
4. Çizelge 1.’den k değerine karşılık gelen modlardan yapı davranışına katkısının ihmal
edilebilecek kadar küçük olmaları nedeniyle üçten büyük modların katkısı dikkate alınmadığından en etkili ilk üç moda ait Si değerleri alınır ve (15) numaralı bağıntı yardımıyla ilk üç moda ait periyot değerleri hesaplanır. 5. Periyot değerlerine bağlı olarak ilgili yönetmelikten yada mevcut deprem kayıtlarından spektral ivme (Sai) ve spektral yer değiştirme (Sdi) değerleri alınır. 6. Mod katkı çarpanları ve etkin kütle oranları sırasıyla Çizelge 2. ve Çizelge 3. yardımıyla, üçüncü adımda bulunan k parametresine karşılık gelen değerlerin okunmasıyla bulunur.
9. Tepe noktasında oluşacak maksimum yatay deplasmanlar, Çizelge 5. ‘den alınacak Ψi
değerlerinin (21) nolu bağıntıda yerlerine yazılarak elde edilirler. 10. İlk üç mod için bulunacak 3 değerin karelerinin toplamının karekökü alınarak nihai değere ulaşılır.
4. Sayisal Örnekler
Bu bölümde farklı yaklaşımlarla çözülmüş olan çeşitli taşıyıcı sistemlerin dinamik analizi yukarıda açıklanan prosedüre göre gerçekleştirilmiş ve elde edilen sonuçlar karşılaştırılmıştır. Örnek 1. Şekil 3. de planı görülen çok katlı yapıda kat adedi 28, kat yükseklikleri 2,97 m, birim boya düşen ağırlık 280640 kg/m, dolu perde elemanların her birinin eğilme rijitliği EI=8.85×107kNm2, boşluklu perdelerin her birinin eğilme rijitliği EI=1.77×108 kNm2 ve yine boşluklu perdelerde eksenel deformasyonların oluşturduğu eğilme rijitliği ifadesi ise EIg=1.37×109kNm2 , boşluklu perdeleri birleştiren bağ kirişlerinin kesit alanları ve atalet momentleri sırasıyla Ab=1.4640m2, Ib=5.97×10-4m4 olarak verilmiştir [9]. Taşıyıcı sistemin z ekseni doğrultusundaki açısal frekansı ve taban kesme kuvveti Eurocode 8.‘de [9] yer alan tasarım spektrumu dikkate alınarak çalışmada açıklanan prosedüre göre aşağıdaki hesap aşamaları ile elde edilmiştir. H=83.2m, h=2.97m, p=0.2 olarak verilmiştir. GA, kayma rijitliği ifadesi (3) nolu bağıntıdan, her iki boşluklu perde için eşit değerlerde olan, di=3.7m, si=si+1=6.1m EIb=2.3×107×5.79×10-4 =13.317×103 kNm2, GAb=9.58×106×0.07=6.706×105kNm2 değerleri için GA=9.99×104kN olarak hesaplanır. Tüm yapı için z ekseni yönündeki taşıyıcı sistemin toplam eğilme rijitliği EI, dolu ve boşluklu perdelerin eğilme rijitliklerinin toplamından, EI=(8.85×107+1.77×108) ×2adet =5.31×108kNm2, Toplam eksenel rijitlik ifadesi, EIg=2adet ×1.37×109=2.74×109 kN m2 ve 2 adet boşluklu perde için toplam eşdeğer kayma rijitliği; GA=2×9.99×104=19.98×104kN olarak bulunur. Etkili kayma rijitliği GAef, (6) nolu bağıntılardan hesaplanan; ve
2 f kayma = (19.98 × 10 4 × 2.97) /((4 × 83.2) 2 × 849.644) =0.00631 değerlerinin (5) nolu bağıntıda
yerlerine yazılmasıyla bulunacak fj=0.0626/(0.0626+0.00631)=0.908 değerinin (4) nolu bağıntıda yerine yazılmasıyla, (GA) ef = 0.908 × 19.98 × 10 4 = 18.14 × 10 4 kN olarak elde edilir. Birim boya gelen ağırlık = 280640 kg/m =2806.40kN/m verildiğinden m kat kütlesi m=2806.40×2.97/9.81 =849.644 kNm/s2 olarak alınmıştır. k parametresi ise, k = H GA / EI = 83.2 (18.14 *10 4 ) /(5.31 *108 ) = 1.54 olarak bulunur. Çizelge 1. ‘den k=1.54 değerine karşılık S1=1.318 enterpolasyon yapılarak hesaplanabilir. z
q düzeltme katsayısı ise (16) nolu bağıntı yardımıyla kat adedi n=28 için; q = 28 /( 28 + 2.06) = 0.931 elde edilir. Birinci doğal titreşim periyodu ise (15) nolu bağıntı ile;
T1 = 1.318 × 83.2 2 2806.40 / 0.931× 5.31× 10 8 × 9.81 = 6.94s hesaplanır. Yine k=1.54 değerine karşılık Çizelge 3‘ten eko1=0.632 alınır. Taban kesme kuvveti için, Eurocode 8 ‘de [9] verilen spektral ivme Sa , ⎛ T ⎞⎛ T ⎞ TD < T1 ⇒ Sa = a g S t ηβ ⎜⎜ ( C ) k1 ⎟⎟⎜⎜ ( D ) k 2 ⎟⎟ (22) ⎝ TD ⎠⎝ T1 ⎠ S t = 1 , ag=0.089.81 m/s2, β = 2.5 , η = 1.323 , TB=0.15 s, TC=0.6 s, TD=3 s, k1=1 ve k2=3 değerleri için bulunan Sa1=0.08×9.81×1×1.323×2.5×((0.60/3))1× ((3/6.935)2)=0.0971m/s2 (19) nolu bağıntıda yerine yazılmasıyla, VT i = M . ekoi . Sa i =((2806.40×83.2)/(9.81)) ×0.632×0.0971=1460.63 kN olarak elde
edilir. Literatürde aynı örnek için verilen ve bu çalışmada elde edilen sonuçlar Çizelge 6.da. gösterilmiştir. Çizelge 6. Örnek 1. ye ait periyot ve taban kesme kuvveti
1. Doğal titreşim periyodu (s)
A Pratical Method for Dynamic Analysis of Multistorey … Örnek 2. Şekil 4’te kesiti verilen düzlem çerçevenin dinamik analizi 7, 10 ve 15 katlı olarak bu makalede sunulan yöntem ile yapılmış ve sonuçlar sonlu elemanlar yöntemi ile karşılaştırılmıştır. Sonlu elemanlarla yapılan çözümlemede SAP2000 hazır paket programından yararlanılmıştır[10]. İncelenen örnekte, tüm kolonlar ve kirişler sırasıyla 40/70 cm ve 25/50 cm, elastisite modülü E=3×107 kN/m2, bina önem katsayısı 1, kat yükseklikleri h=3 m ve kat kütleleri m=50 kNs2/m olarak verilmiştir. Bir kolon için I=0.0114m4, dört kolon için EI=1.372×106 kNm2 dir. Çözüm için yukarıda 3. numaralı başlık altında sıralanan ilgili aşamalar uygulanmıştır. Buradan elde edilen k değerlerine karşılık gelen S1, S2 ve S3 değerleri Çizelge 1. den alınır. Elde edilen Si değeri (15) nolu bağıntıda yerine yazılarak periyotlar elde edilmiştir. Taban kesme kuvvetleri için önce Çizelge 3. ‘den etkin kütle oranları alınır ve (19) nolu bağıntı kullanılarak her bir moda karşılık gelen taban kesme kuvvetleri bulunmuştur. SRSS (karelerin toplamının karekökü) metodu ile tüm yapının taban kesme kuvveti bulunmuştur. İncelenen zeminlere ait spektrum değerleri Afet Bölgelerinde Yapılacak Yapılar Hakkında Yönetmelikten (1998) alınmıştır [11]. Örneğin 15 katlı yapıya ait k değeri (H=45m, GA=1.7357×105kN, EI=1.372×106 kNm2 için) k=16.01 ve buna karşılık gelen S1, S2 ve S3 değerleri Çizelge 1. ‘den sırasıyla 0.234, 0.075 ve 0.043 olarak alınmıştır. İlk üç moda ait periyotlar (15) nolu bağıntı kullanılarak sırasıyla 1.76s, 0.56s ve 0.32s bulunmuştur. Taban kesme kuvveti için yine k=16.01 değerine karşılık Çizelge 3.‘ten alınan ilk üç moda ait etkin kütle oranları eko1=0.77 , eko2=0.09 ve eko3=0.04 değerleri (19) nolu bağıntıda yerine yazılarak elde edilmiştir.numaralı eşitlikte yerine yazılmıştır. Böylece taban kesme kuvveti değerleri ilk üç mod için sırasıyla VT1=414.07kN, VT2=82.76kN , VT3=36.78kN ve buradan toplam taban kesme kuvveti bileşkesi 423.9kN olarak elde edilmiştir. Bu işlem sırasında örneğin Z4 zemin sınıfı için Sa1=0.717 m/s2, Sa2=1.226 m/s2 ve Sa3=1.226 m/s2 olarak dikkate alınmıştır [11]. Benzer olarak 7, 10 ve 15 katlı yapılar için elde edilen ilk üç moda ait periyotlar Çizelge7’de, yine aynı yapılar için Z1, Z2, Z3 ve Z4 farklı zemin sınıfları için elde edilen taban kesme kuvvetleri Çizelge 8. de, SAP2000 hazır programından elde edilmiş sonuçlarla karşılaştırmalı olarak verilmiştir. Çizelge 7. İlk 3 moda ait periyotlar (örnek 2.)
Periyotlar (s) 10 kat Bu SAP2000 Çalışma 1.143 1.156 0.358 0.363 0.196 0.198
15 kat Bu SAP2000 Çalışma 1.768 1.823 0.572 0.580 0.324 0.320
Çizelge 8. Farklı zemin sınıfları için taban kesme kuvvetleri
Taban kesme kuvveti, Vt (kN) 10 kat 15 kat Bu Bu SAP2000 SAP2000 SAP2000 Çalışma Çalışma 169.9 166.6 174.7 181.6 182.2 209.1 207.5 217.4 227.5 231.3 283.6 281.2 292.4 311.7 312.9 388.0 384.6 398.7 423.9 419.9
Şekil 4. Örnek 2. 2ye ait taşıyıcı sistem Örnek 3. Şekil 5. de verilen perde-çerçeve sistem 7 ve 15 katlı olarak hem sürekli sistem hesap modeliyle hem de Sonlu Elemanlar Yöntemiyle [10] ABYYHY 98 dikkate alınarak çözülmüş ve sonuçlar Çizelge 9’da karşılaştırılmıştır. SAP2000 hazır paket programıyla çözüm yapılırken perde kabuk eleman olarak modellenmiştir. Perde 30/300 cm, kolonlar 30/60 cm ve kirişler 25/50 cm olarak alınmış olup kat kütleleri 50kNs2/m, kat yükseklikleri ise 3m’dir. Yapı Z4 zemin sınıfı üzerine inşa edilmiştir. Çizelge 9. Örnek 3. ‘e ait sonuçlar
İlk üç moda ait Periyotlar (s) 7 kat 15 kat Bu Bu SAP2000 Çalışma SAP2000 Çalışma 0.56 0.59 1.89 1.92 0.12 0.12 0.43 0.44 0.05 0.05 0.20 0.18 Tabandan kesme kuvvetleri Vt (kN) 329.12 355.15 203.0 226.2 Tepe noktası deplasmanları (m) 0.01729 0.01739 0.028 0.03172
5. Sonuç
Çok katlı yapıların sürekli sistem hesap modeline göre dinamik analizi için hazırlanmış olan Çizelgelerin kullanıldığı pratik bir işlem prosedürü sunulmuştur. Dolu perde, boşluklu perde ve/veya çerçeve taşıyıcı sisteme sahip yapılar için kullanılabilen yöntemde, eğilme ve kayma deformasyonları ile birlikte eksenel şekil değiştirmelerin de sonuçlara katkısı dikkate alınmıştır. Bu tür yapıların periyot, taban kesme kuvveti, devrilme momenti ve tepe noktası deplasmanının hesaplanması için el ile yapılan dinamik analizdeki karmaşık bağıntılar ve işlemler pratik Çizelgelere dönüştürülerek sonuca kısa zamanda ve kolaylıkla ulaşılması sağlanmıştır. İşlem prosedürü, çalışmanın sonunda çözülmüş olan çeşitli sayısal örnekler üzerinde karşılaştırmalı olarak irdelenmiştir. Sonuçlar Sonlu Elemanlar Deplasman Metodu ile elde edilen çözüm sonuçları ile karşılaştırılarak birbiriyle oldukça uyumlu değerlere ulaşılabildiği görülmüştür.
Share and Cite
BOZDOĞAN, K.B.; ÖZTÜRK, D.; NUHOĞLU, A. A pratical method for dynamic analysis of multistorey buildings according to continuum approximation. Sigma Journal of Engineering and Natural Sciences 2005, Vol. 23, pp. 65-77. https://doi.org/10.62051/ytu.sigma-journal-of-engineering-and-natural-sciences-a-pratical-method-for-dynamic-analysis-of-multistorey-buildings-according-to-con