A process control chart based on uncertainty measurement

1.1. Varyasyon

Endüstride üretilen hiçbir ürünün birbirine tam olarak benzemediği, aralarında birtakım farklar olduğu konuyla ilgili herkes tarafından bilinen bir gerçektir. Bu farklılıkların belli sınırlar içinde kalması halinde söz konusu ürünlerin aynı olduğu varsayılmaktadır. Teknikteki tolerans kavramı da bu düşüncenin bir ürünüdür. Çıplak gözle bakıldığında aralarında fark görülmeyen iki ürünün hassas ölçü aletleriye kontrol edildiklerinde farklı oldukları kolayca anlaşılabilmektedir. İster çıplak gözle, isterse de en hassas ölçü aletleriyle belirlensin, bu farklılıklar, bu yazıda ele alınan “ölçülebilen özellikler için varyasyon” ’un temelini oluşturmaktadır. Dolayısıyla, konumuzla ilgili olarak ele alındığında varyasyon, üretim prosesindeki kararlılığın (stabilite) göstergesi olarak tanımlanabilir. Kararlı bir proses varyasyonu azaltılmış proses demektir. Bir üretim prosesinin kararlılığını, başka bir deyişle varyasyonunu izlemenin en iyi yolu kontrol diyagramlarını kullanmaktır.

1.2. Kontrol Diyagramları∗

Walter A. Shewhart tarafından, 1920’li yıllarda Bell Telefon Şirketi Laboratuvarlarında geliştirilen kontrol diyagramları, Shewhart’ın 1931’de yayınlanan “Economic Control of Quality of Manufactured Product” isimli kitabında ilk kez yer almıştır. Bu çok önemli kitap daha sonra 1980’de Amerikan Kalite Derneği (American Society for Quality) tarafından yeniden yayınlanmıştır. Konuyla ilgili çoğu kişi, bu çalışmanın konuya tamamıyla yeni bir bakış açısı getirdiğini ifade etmektedir (Grant ve Leavenworth,1). Shewhart’ın yönteminin gücü, varyasyonun giderilebilir sebeplerini bulmada önemli bir araç olmasından kaynaklanmaktadır. Shewhart’a göre, prosesteki varyasyon, bu varyasyonun oluşturduğu doğal limitlerin içinde kalabileceği gibi, dışına da çıkabilir. Eğer dışına çıkmışsa, çıkan kısmın kaynağına inilebilir. Bu bakış açısı, Shewhart’ın çalışmalarında dikkate aldığı doğadaki varyasyon yasalarının temelini oluşturur. Shewhart, üretim çıktılarına aynı ilkeleri uygulamayı denediğinde her zaman doğal davranışa uyan durumlarla karşılaşılmadığını belirleyerek şu sonuca ulaşmıştır: Her proses varyasyon sergilemektedir, ama bunların bazısı kontrol edilebilen, bazısı da kontrol edilemeyen varyasyon’dur. Kontrol edilebilen varyasyon zaman içerisinde tutarlı ve kararlı bir görünüme sahiptir ve bu tip varyasyonların şansa bağlı sebepleri vardır. Kontrol edilemeyen varyasyon ise zaman içinde tutarsız bir görünüm sergiler. Dolayısıyla ileride ne olacağı öngörülemez. Varyasyondaki bu tip değişimlerin sebepleri ise açıklanabilmekte ve giderilebilmektedir (Wheeler, 2). Shewhart’tan günümüze kadar geçen dönemde bu konuyla ilgili çok sayıda çalışma yapılmıştır. Kontrol diyagramlarıyla ilgili olarak yapılan çalışmaları genellikle yeni kontrol diyagramları oluşturmayla ilgili çalışmalar, prosesin kontrol dışına çıktığını haber veren sinyallerin doğruluğu ile ilgili çalışmalar, kullanılan veriler arasında otokorelasyon olup olmaması ile ilgili çalışmalar olarak bir ayrıma tabi tutabiliriz. Doğal olarak bu çalışmalar birbirlerinden keskin sınırlarla ayrılmamakta, birbirleriyle iç içe girebilmektedirler. Yeni diyagram geliştirme çalışmaları daha çok mevcut diyagramlara eklemeler yapmak ya da bu diyagramlara farklı bakış açıları sunmak şeklindedir. Örneğin, Zhang (1998) otokorelasyon olmayan proseslerde daha iyi performans sergileyen bir diyagram önermiştir. Alwan, Ebrahimi ve Soofi (1998) ise proses kontrolda kullanılacak “information chart”’ları önermişlerdir. Bu çalışmada proses ortalamasını ve varyansını izlemek üzere IMV (Information – Variance Chart) Diyagramı geliştirilmiştir. IMV Diyagramı, X-s Diyagramlarının birleştirildiği ∗

Bu çalışmada sadece ölçülebilen özellikler için kontrol diyagramları incelenmiştir. Ölçülemeyen, gözle de izlenebilen özellikler için geliştirilmiş olan kontrol diyagramları konumuz dışındadır.

A Process Control Chart Based on Uncertainty … bir diyagram olup, klasik yöntemlere informasyon teorisi açısından bir bakış getirmektedir. Gültekin, English ve Elsayed (2002)’in yaptığı bir başka çalışmada ise prosesin değişimindeki doğrusal kaymaları belirlemede iyi bir performans sergileyen yeni bir diyagram önerilmiştir. Prosesin kontrol dışına çıktığını haber veren sinyallerin doğruluğunu araştıran çalışmalar örneklem büyüklüğü (örnek hacmi), örnek alma sıklığı ile ilgili yapılan çalışmalarla yakından ilgilidir. Bu konuda yapılan bazı çalışmaları kronolojik olarak şu şekilde sıralayabiliriz: Weindling, Littauer ve Oliviera (1970), Saniga (1977), Costa (1993), Shore (1998), Vaughan (1999), Yang (1999), Rahim ve Costa (2000), Wang ve Yue (2001), Vaughan (2001), Bischak ve Silver (2001), Molnau, Runger, Montgomery ve diğ. (2001), Fu, Spiring ve Hansheng (2002), Fu, Shmueli ve Chang (2003), Chen (2004), Costa ve Rahim (2004), Zhang ve Wu (2005), Hawkins ve Zamba (2005, [20]), Djauhari (2005), Reynolds Jr. ve Kim (2005), Kim ve Reynolds Jr. (2005), Tsiamyrtzis ve Hawkins (2005), Hawkins ve Zamba (2005, [21]), Reynolds ve Stoumbos (2005), He ve Grigoryan (2006). Kullanılan veriler arasında otokorelasyon olması halinde yapılan bazı çalışmaları da şu şekilde özetlemek mümkündür: Vasilopoulos ve Stamboulis (1978), Montgomery ve Mastrangelo (1991), Runger ve Willemain (1995), Lu ve Reynolds Jr.(1999 [27]), Lu ve Reynolds Jr.(1999 [28]), Boyles (2000), Lu ve Reynolds,Jr.(2001), Runger (2002), Atienza, Tang ve Ang (2002), Jiang (2004), Kim ve Reynolds,Jr.(2005), Tsung, Zhao, Xiang ve diğ.(2006). Bu çalışmada sadece X-R diyagramları göz önüne alınacağından, çok değişkenli kontrol diyagramlarıyla ilgili literatür taraması yapılmamıştır.

1.3. Entropi

Yaklaşık 140 yıldır bilim dünyasında var olan entropi kavramı, çeşitli bilim insanlarınca farklı anlamlarda kullanılmıştır. İlk olarak Alman Fizikçi Rudolf Julius Emmanuel Clausius (18221888) tarafından kullanılan entropi, Avusturyalı Fizikçi Ludwig Boltzmann (1822-1888)’ın çalışmalarında ise olasılığı da içeren bir kavram olarak ortaya çıkmıştır. Daha sonraları, Boltzmann’ın formülasyonuna yakın haliyle Claude Elwood Shannon (1916-2001)’un ortaya attığı informasyon teorisinde (Shannon, 1948) de kullanılan bu kavram, bu çalışmada da C.E. Shannon’un formülasyonuna uygun haliyle kullanılmıştır. Shewhart gibi Bell Telefon Laboratuvarlarında araştırmacı olarak çalışan Shannon, bir araştırmasında artan ev ve işyeri telefon sayısı karşısında mesajların doğru aktarımı ile ilgilenmekteyken, meydana gelme olasılıkları p1, p2, ...,pn olan ve kimsenin ilk olarak bunlardan hangisinin meydana geleceğini bilemediği mümkün olaylar kümesini incelemişti. “Bu olayların çıktısındaki belirsizliği verecek bir {H} ölçüsü var mıdır?” diye düşünen Shannon, böyle bir ölçüye gereksinim olduğunu ortaya çıkararak, K bir sabit sayı olmak üzere, bu ölçünün (yani entropinin) aşağıdaki gibi ifade edilebileceğini göstermiştir (Shannon, 11). n (1) H = − K ∑ pi log 2 pi i =1 Shannon’a göre, sürekli bir dağılımın entropisi de şu şekilde ifade edilebilir (Shannon, 35): ∞

Yukarıda da değinildiği gibi, entropi farklı anlamlarda kullanımı olan bir kavramdır. Bu kavrama yüklenilen anlamlar toplu olarak Çambel (1993, 127) ve Türkçe olarak da Baray (2003)’da bulunabilir. Ayrıca, entropinin teorik temeli üzerine yapılan çalışmalar Greven, Keller ve Warnecke (2003), Kapur ve Kesavan (1992) ile Fang, Rajasekara ve Tsao (1999)’da ayrıntılı biçimde incelenmiştir. Özellikle Greven, Keller ve Warnecke’nin çalışması entropi kavramını ayrıntılı biçimde inceleyen, konusundaki tek kitaptır denebilir. Daha çok Kaos Teorisi,

Termodinamik gibi temel bilimler konularında başvurulan entropi kavramı belirsizliğin bir ölçüsü olarak ekonomide de kullanılmaya başlanmıştır (Roegen, 1971) ve (Fomby, 1997). İşletme ve dolayısıyla Endüstri Mühendisliği konularında da Bushuyev ve Sochnev (1999) ile Johnston (2002)’un çalışmalarının yanısıra 2.2’de bahsedilen Alwan, Ebrahimi ve Soofi (1998)’nin çalışmaları ön plana çıkmaktadır. Bu çalışmada X-R diyagramlarında yararlanılan verilerden yola çıkılarak, bu verilerin bize ne kadarlık bilgi verdiği, belirsizliğin arttığı yerde proseste anlamlı bir varyasyon oluşup oluşmadığı araştırılmıştır. Bu esnada belirsizliğin entropi yardımıyla ölçülmesine çalışıldığından dolayı kontrol limitlerine gerek kalmamıştır. Prosesin ideal belirsizlik eşiği belirlenerek, prosesin o anki belirsizliği ile bu eşiğin karşılaştırması yapılmış, dolayısıyla bu eşik kontrol limitleri yerine kullanılmıştır. Daha sonra da, elde edilen sonuçlar X-R Diyagramlarının sonuçlarıyla karşılaştırılmıştır.

2.1. X-R Kontrol Diyagramları

X-R Diyagramları, ölçülebilen bir kalite karakteristiğinin varyasyonunda “büyük” kaymaların olduğu durumları belirlerken, örneklemin 1’den büyük olduğu ve veriler arasında otokorelasyonun olmadığı durumlarda kullanılabilen bir diyagram çiftidir [31,sf.455]. Bu bölümde X-R Diyagramlarının istatistiksel temelleri izah edilmiştir. 2.1.1. Kontrol Diyagramlarının İstatistiksel Temelleri ve X-R Diyagramlarının Limitleri Kontrol diyagramları genel olarak, her seferinde belirli üretim miktarına ulaşınca belirli miktarlarda örnek alınmasına göre ya da belirli zaman aralıklarında belirli miktarlarda örnek alınmasına göre tasarlanabilirler. İster belli üretim miktarları olsun, isterse de belli zaman aralıkları olsun, bu miktar ya da zaman aralıkları kontrol diyagramlarının yatay ekseninde yer alırlar. Ölçülen kalite karakteristiğine ait değerler ise düşey eksende yer alırlar. Bir kontrol diyagramında orta çizgi (OÇ), üst kontrol limiti (ÜKL) ve alt kontrol limiti (AKL) olmak üzere üç temel yatay çizgi vardır. Göz önüne alınan kalite karakteristiğinin ortalama değeri OÇ’yi oluşturur. Proses kontrol altındayken, örnekleme ait noktaların hepsinin ÜKL ve AKL arasında yer alması gerekir. Örnek noktalarını doğrularla birleştirmek, diyagramların okunabilirliğini artırmak amacıyla gelenek haline gelmiştir. Noktaların hepsinin kontrol limitleri içinde kalması ana koşul olmakla birlikte yeterli olmayabilir. Kontrol limitleri içinde kalsalar bile, bu noktaların rastgeleliği gösteren bir görüntü vermeleri gerekir. Kontrol limitleri dışına çıkan bir noktanın varlığının yanısıra, kontrol limitleri içinde kalıp da sistematik bir dağılma ya da rastgeleliğe uymama görüntüsü veren noktalar da prosesin kontrol dışı olduğunun işaretidirler. Prosesin kontrol dışında olduğu kararı verilirse, varyasyonun giderilebilir sebepleri olduğu düşünülerek düzeltici faaliyette bulunulur. Genel olarak istatistiksel çerçevesini çizmeye çalıştığımız kontrol diyagramlarının OÇ, ÜKL ve AKL formülleri genel olarak şöyle yazılır [31]: ÜKL = µ + Lσ

A Process Control Chart Based on Uncertainty … Burada genel anlamları ile; µ : Göz önüne alınan kalite karakteristiğine ait örneklemlerin ortalaması, σ : Göz önüne alınan kalite karakteristiğine ait örneklemlerin standart sapması, L : Kontrol limitlerinin OÇ’den olan uzaklıklarının σ cinsinden değeri’dir. Bu değer 3σ’dan gelen alışkanlıkla ABD’de 3 olarak alınırken, Kıta Avrupası ve İngiltere’de ise 1.tip hata olasılığı olarak kabul edilen 0,001 olasılık değerine karşılık gelen normal tablo değeri 3,09 olarak alınmaktadır. Burada, kontrol diyagramlarının hipotez testleriyle olan yakın ilişkisine değinilmeyeceğinden X-R diyagramlarının limit formülleri verilerek belirsizlik ölçümüne geçilecektir. X-R diyagramlarında örneklemin iç dağılımının ve ayrıca örneklem parametrelerinin dağılımının bağımsız gözlemlerden elde edildiği ve normal dağılıma uyduğu varsayımı yapılmaktadır [31,sf.196]. Normal dağılımın parametreleri, genel adlarıyla, bu dağılımın yer ve yayılma ölçüleridir. Yer ile bu dağılımın ortalaması (X) tanımlanırken, yayılma ile de bu dağılımın standart sapması (σ) (veya varyansı) ya da dağılma aralığı (R) tanımlanmaktadır. Bir başka deyişle bir normal dağılımın parametreleri o dağılımın ortalaması ve standart sapmasıdır. X-R Diyagramlarında dağılma ölçüsü olarak, kolay hesaplanabilirliği nedeniyle dağılma aralığı (R) kullanılmaktadır. Bunun içindir ki, ölçülebilen bir kalite karakteristiğinin varyasyonunda anlamlı bir kayma olup olmadığı hem ortalama (X) ve hem de yayılma (R) diyagramlarının ikisiyle birden takip edilmektedir. Bu bilgilerin ışığında X Diyagramının limit değerleri şu şekilde verilmektedir :

R Diyagramına ait limit değerleri de şu şekildedir: ÜKL = D4 R

Buradaki A2 , D4 ve D3 değerleri örnekleme bağlı olarak belirlenen katsayılar olup, hemen her istatistiksel kalite kontrolu kitabında tablolar halinde bulunmaktadırlar. Ayrıca, x : Örneklem ortalamalarının ortalaması, R : Örneklem aralıklarının ortalamasıdır.

2.2. Belirsizlik Ölçümüne Dayalı Yeni Kontrol Diyagramının Oluşturulması

Bu bölümde yeni diyagramı oluştururken hangi düşünceden hareketle yola çıkıldığı ve belirsizliğin nasıl ölçüldüğünden bahisle yeni kontrol diyagramının nasıl çalıştığı izah edilecektir. 2.2.1. Yeni Kontrol Diyagramı Oluşturmada Hareket Noktası Şekil 1’de X Diyagramının yapısı görülmektedir. Prosesin durumuna ve özelliğine göre belli aralıklarla alınan n sayıda örnekten ortaya çıkan normal dağılım eğrileri şekil 1’deki gibi olabilmektedir. Klasik bir X Diyagramında bu dağılımların ortalamaları birleştirilerek diyagramın çizimi yapılmaktadır. OÇ, AKL ve ÜKL de bu noktalardan hareketle hesaplanmaktadır.

Ancak, şekilden de görüldüğü gibi, dağılımın yayvan olması, ortalamasının alt ve üst kontrol limitlerine yakın olması gibi durumlarda örneği oluşturan değerlerden bazıları kontrol limitlerinin dışına çıksa bile sadece örnek ortalamaları dikkate alındığından proses kontrol altında gözükmektedir. Bu da zaman zaman diyagramın yanlış bilgi vermesine yol açmaktadır. Bu çalışmada önerilen diyagramın temel dayanağı, örnek ortalaması yerine örnek dağılımının tümünün dikkate alınması ve bu dağılımdan elde edilen bilginin ölçülmesidir. Örnek dağılımlarına ait bir noktadan ya da örnek dağılımlarının yayılmasından hareket edilmeyip, bu dağılımların olasılık alanları ile ilgilenildiğinden örnek dağılımlarının yer ve yayılma ölçüleri cinsinden takibine gerek kalmamıştır. Dolayısıyla, yeni diyagram tek bir diyagram olarak ortaya çıkmıştır. AL(örnek)

Şekil 1. - X Diyagramının Yapısı 2.2.2. Örnek Dağılımlarının İçerdiği Bilginin Ölçülmesi Şekil 1’de i. örnek alma sonunda prosesin durumu görülmektedir. 1.örneklemin dağılımı istenen ideal durumdadır. Dağılımın alt limiti (AL) prosesin alt kontrol limiti (AKL) ile, üst limiti (ÜL) de prosesin üst kontrol limiti (ÜKL) ile çakışıktır. 2 no’lu örneklemin dağılımı ise prosesin alt kontrol limitine daha yakındır. Bu yüzden de dağılımın alt limitine kadar olan kısımdan daha fazla bir kısmı AKL’nin dışında kalmıştır. Üst limitte sorun yoktur. Doğal olarak üst limitin dışında kalan bir kısım söz konusudur ki, bu kısım dahi prosesin ÜKL’si içindedir. 3 no’lu dağılımın yayılması o kadar fazladır ki, örneklemin alt ve üst limiti sırasıyla prosesin alt kontrol limiti ve üst kontrol limitinin dışında kalmıştır. 4 no’lu örneklemin dağılımı ise bir anlamda 2 no’lu dağılımın OÇ’ye göre ters yönde benzeridir. 2 no’lu dağılımda alt limit ile ilgili söylenenler burada üst limit için, üst limit ile ilgili söylenenler de alt limit için geçerlidir. 5 no’lu dağılımda limit dışı bir durum olmamakla birlikte, bu aşamadaki üretimin eskisine göre daha dar bir ölçü aralığında gerçekleştiği düşünülmektedir. i. örneklemin sonunda prosesin OÇ, AKL ve ÜKL’si hesaplanabildiğine göre, yukarıda söz konusu edilen örneklem dağılımlarının ne kadarlık bir kısmının prosesin AKL ve ÜKL’si arasında kaldığı kolayca hesaplanabilmektedir. Proses hakkında elimizde bulunan bilgi, prosesin AKL’si ile ÜKL’si arasında kalan örneklemlere ait olasılık alanlarından elde edilen bilgidir. Dolayısıyla, bu bilginin prosesin belirsizliğini (bir başka deyişle düzensizliğini) anlamada kullanılabilmesi olanağı vardır. Şekil 1’den de görüldüğü gibi, örneklem dağılımlarının limitlerinin proses kontrol limitlerine göre konumları şu şekildedir: